Variance Gamma desde cero
1/5El tiempo mismo es aleatorio
Variance Gamma parte de una idea radical: en lugar de añadir saltos a la difusión, hacer que el tiempo mismo sea estocástico. El movimiento browniano corre sobre un reloj aleatorio.
El movimiento browniano ordinario usa el tiempo calendario: un segundo por segundo, implacablemente uniforme. VG dice que el mercado tiene su propio reloj interno — un proceso gamma G(t) — que a veces se adelanta y a veces se arrastra. Cuando el reloj corre rápido, el movimiento browniano recibe más “tiempo efectivo” y hace movimientos grandes. Cuando el reloj se detiene, el precio apenas se mueve.
El resultado: las colas gruesas emergen de forma natural de la aleatoriedad del reloj, sin especificar explícitamente una distribución del tamaño de los saltos. Los períodos de reloj rápido crean grupos de movimientos grandes. Los períodos lentos crean una calma inquietante. Esto coincide con cómo se ven realmente los libros de órdenes poco líquidos en cripto — largos tramos sin nada, y luego ráfagas repentinas de actividad.
G(t) — proceso gamma con tasa media 1 y tasa de varianza ν. Este es el reloj aleatorio.
θ — deriva dentro del reloj (crea el skew).
σ — vol de difusión dentro del reloj.
Abajo, el panel superior muestra el proceso gamma G(t) — el reloj aleatorio. La línea discontinua es el tiempo calendario (la diagonal recta). Cuando G(t) salta por encima de la diagonal, el tiempo corre rápido. El panel inferior muestra el proceso VG resultante — el movimiento browniano evaluado en el tiempo aleatorio G(t).
Aumente ν para hacer el reloj más errático. Observe cómo el proceso VG se vuelve más salvaje — movimientos más grandes, más agrupamiento. Ese es el mecanismo de las colas gruesas.
Piense en una película con velocidad de reproducción variable. Algunas escenas van en cámara lenta (mercado tranquilo). Otras avanzan rápido (ventas de pánico, cascadas de liquidación). La película subyacente es el movimiento browniano ordinario. El control de velocidad es el proceso gamma. Lo que ve el público — el proceso VG — lleva incorporado todo el drama de los cambios de velocidad.
Los tres parámetros
VG tiene la interpretación de parámetros más limpia de cualquier modelo de sonrisa. Cada parámetro corresponde exactamente a un momento estadístico. Sin redundancia, sin dolores de cabeza por correlaciones.
σ (sigma) — vol de difusión. La volatilidad del movimiento browniano dentro del reloj aleatorio. Controla el nivel general de la sonrisa. Un σ mayor eleva todo. Es el análogo de la vol de Black-Scholes.
θ (theta) — deriva en el MB subordinado. Controla el skew. Si θ < 0, el proceso deriva hacia abajo dentro del reloj aleatorio y la sonrisa se inclina — el ala de las puts más empinada que el ala de las calls. Si θ = 0, la sonrisa es simétrica.
ν (nu) — varianza del tiempo gamma. Controla el exceso de curtosis (grosor de las colas). Un ν mayor hace el reloj más aleatorio, lo que crea colas más gruesas y alas más empinadas en ambos lados. Este es el parámetro que separa a VG de Black-Scholes.
Tres experimentos:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Sonrisa casi plana — cercana a Black-Scholes. El reloj es casi determinista.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Skew negativo con curtosis moderada. Forma clásica de la sonrisa en cripto.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Simétrica pero con curtosis extrema. Ambas alas se disparan. “Régimen de cisne negro.”
σ → varianza (2.º momento). θ → asimetría (3.er momento). ν → exceso de curtosis (4.º momento). Esta es la separación más limpia de la forma de la sonrisa en cualquier modelo de saltos o de vol estocástica. Heston tiene 5 parámetros con correlaciones entre ellos. VG tiene 3 controles ortogonales.
En realidad es un proceso de salto puro
Aunque parece movimiento browniano con cambio de tiempo (suave + estirado), las trayectorias de VG son técnicamente de salto puro. Cada movimiento es un salto. No hay componente de difusión continua en tiempo calendario.
Esto es filosóficamente distinto de Merton. En Merton, el precio se mueve suavemente la mayor parte del tiempo (difusión), con grandes saltos ocasionales. En VG, todo movimiento es discontinuo. El proceso tiene actividad infinita (infinitos saltos en cualquier intervalo) pero variación finita (el tamaño total de los saltos está acotado).
La mayoría de esos saltos son diminutos. Unos pocos son grandes. En el límite de muchos saltos diminutos, la trayectoria parece casi continua — se aproxima bien con una curva suave. Pero si hace zoom lo suficiente, cada movimiento es técnicamente un salto. Ningún par de precios adyacentes está conectado por una trayectoria continua.
El panel izquierdo muestra una trayectoria VG dibujada como función escalonada — cada paso de tiempo es un salto distinto. El panel derecho muestra una trayectoria de Merton con difusión suave entre saltos grandes y raros (barras rojas). Pulse Regenerar y compare:
VG: pequeños saltos constantes, ocasionalmente grandes. Sin secciones suaves. La trayectoria oscila en todas partes.
Merton: largos tramos suaves interrumpidos por saltos verticales repentinos. Dos regímenes claramente distintos (calma vs. shock).
En un mundo de salto puro, la cobertura delta es imperfecta por construcción — no se puede operar de forma continua porque el precio mismo es discontinuo. Esto es en realidad más honesto que Merton, que afirma que se puede cubrir perfectamente la parte de difusión y que solo los saltos raros son incubribles. En los libros de órdenes poco líquidos de cripto, cada ejecución es efectivamente un salto. VG reconoce esa realidad.
La función característica
VG tiene una función característica limpia y en forma cerrada. Esto es lo que hace práctica la valoración por Fourier — puede valorar opciones europeas de forma rápida y exacta sin Monte Carlo.
σ entra vía el término u² (contribución de la varianza).
θ entra vía el término iu (skew vía la parte imaginaria).
ν entra vía el exponente −T/ν y en la base (curtosis).
When ν → 0: the exponent → −∞, y la FC converge a la FC lognormal de BS. VG contiene a BS como caso límite.
El flujo de valoración: tome esta FC, insértela en la fórmula de Carr-Madan (1999) o en el método COS, y aplique una Transformada Rápida de Fourier. Obtiene los precios de las opciones para todos los strikes de una sola vez — sin cálculo por strike, sin ruido de simulación.
El exponente −T/ν es negativo y se vuelve más negativo a medida que T crece. Esto significa que la FC decae más rápido para vencimientos más largos, lo que corresponde a que la sonrisa de VG se aplana con el tiempo. La aleatoriedad del reloj se promedia en horizontes largos — un efecto natural de estructura temporal.
VG en la práctica
VG no es el estándar de la industria — Bates (Heston + saltos) domina las mesas de renta variable y de crypto. Pero la idea de subordinación de VG aparece en todas partes, y el modelo tiene nichos específicos.
Derivados de crédito: VG fue originalmente popular en el modelado de crédito. El impago es un evento de salto. La naturaleza de salto puro de VG maneja limpiamente los payoffs discontinuos. Madan, Carr y Chang (1998) introdujeron VG en parte pensando en el crédito.
Exóticos de renta variable con requisitos de sonrisa simples: Cuando necesita un ajuste de sonrisa de 3 parámetros con interpretación clara por momentos, VG es difícil de superar. La calibración es rápida porque cada parámetro tiene un efecto inequívoco.
Cripto en pares poco líquidos: los pares de crypto ilíquidos no se difunden suavemente — saltan de un precio a otro a medida que se ejecutan las órdenes. El carácter de salto puro de VG es una descripción más honesta de esa acción del precio que cualquier modelo de difusión.
La idea de la subordinación: el concepto de reemplazar el tiempo calendario por un reloj aleatorio es fundamental. Aparece en relojes estocásticos, modelos de tiempo de negocio, modelos basados en actividad y CGMY (una generalización de VG). Aunque nunca valore una opción con VG, entender los cambios de tiempo hace más claro cualquier otro modelo.
Black-Scholes: sonrisa plana. Trayectorias continuas. 1 parámetro.
Merton: sonrisa por grandes saltos raros. Difusión suave + saltos de Poisson. 4 parámetros.
Kou: sonrisa por saltos asimétricos. Control independiente de las alas. 5 parámetros.
Variance Gamma: sonrisa por un reloj aleatorio. Salto puro, sin difusión. 3 parámetros, uno por momento.
Heston: sonrisa por vol estocástica. Trayectorias continuas. 5 parámetros.
Bates: Heston + saltos de Merton. El caballo de batalla. 8 parámetros.
A dónde ir después:
Difusión con Saltos de Merton — difusión + grandes saltos raros
Difusión con Saltos de Kou — saltos asimétricos con alas independientes
Modelo de Heston — vol estocástica, el otro enfoque para las sonrisas
Modelo de Bates — Heston + saltos: el caballo de batalla de la industria