Vanna-Volga desde cero
1/5Tres opciones líquidas lo valoran todo
Vanna-Volga usa exactamente tres cotizaciones de mercado para construir una sonrisa completa. La 25Δ put, el straddle ATM y la 25Δ call. Ese es todo el input. Todo lo demás se deriva.
En los mercados de FX, los dealers no cotizan precios de opciones por strike. Cotizan tres números:
ATM vol (σATM). La volatilidad del straddle at the money (ATM). Establece el nivel general de la sonrisa.
25Δ risk reversal (RR). La diferencia entre la vol de la call de 25 delta y la vol de la put de 25 delta. Esto captura el skew: cuánto se inclina la sonrisa.
25Δ butterfly (BF). El promedio de las vols de la put y la call de 25 delta menos la vol ATM. Esto captura la curvatura: cuánto se elevan ambas alas por encima de ATM.
A partir de estos tres números, se pueden recuperar las vols individuales:
El método Vanna-Volga toma estos tres puntos de referencia líquidos y construye una sonrisa completa preguntando: ¿cuál es la forma más barata de cubrir el riesgo de sonrisa de cualquier opción objetivo usando estos tres instrumentos?
Piense en ATM, RR y BF como tres perillas de una mesa de mezclas. ATM es el volumen maestro. RR es el control de balance (izquierda vs derecha). BF es el refuerzo de volumen (ambos lados). Tres perillas, una sonrisa.
¿Qué son vanna y volga?
Vanna y volga son las dos griegas de segundo orden que Black-Scholes finge que no existen. Miden la sensibilidad al riesgo de sonrisa: el efecto cruzado entre el spot y la vol (vanna) y la convexidad en la vol (volga).
Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. Es la sensibilidad de delta a cambios en la vol o, equivalentemente, la sensibilidad de vega a cambios en el spot. Cuando la vol se mueve, delta se desplaza. Cuando el spot se mueve, vega se desplaza. Ambos efectos son vanna.
Vanna es mayor cerca de ATM y es antisimétrica alrededor del forward. Para las puts (ala izquierda), vanna es positiva: cuando la vol sube, la delta de la put se vuelve más negativa (más dentro del dinero en el espacio de probabilidad). Para las calls (ala derecha), vanna es negativa.
Volga = ∂²V / ∂σ². Es la gamma de la vol: la convexidad del precio de la opción respecto a la vol. Una opción con volga positiva se beneficia de que la vol se mueva en cualquier dirección.
Volga es mayor en las alas y es simétrica alrededor del forward. Las puts muy OTM y las calls muy OTM tienen ambas una volga positiva grande. Las opciones ATM tienen volga casi nula.
El gráfico de arriba muestra los dos perfiles a lo largo de los strikes. Black-Scholes asume una sonrisa plana, por lo que valora la exposición a vanna y volga a costo cero. Pero en un mercado real con sonrisa, mantener exposición a vanna y volga no es gratis: tiene un costo, y ese costo es exactamente el ajuste de sonrisa que Vanna-Volga calcula.
Delta y gamma son efectos de primer orden que Black-Scholes maneja. Vega es una sensibilidad de primer orden a la vol que BS también maneja (aunque asume que la vol es constante, el modelo igual tiene una vega). Los efectos de vol de segundo orden-- cómo cambia delta con la vol (vanna) y cómo cambia vega con la vol (volga) -- son precisamente lo que codifica la sonrisa. Una sonrisa no es más que la valoración por el mercado del riesgo de vanna y volga.
El argumento de replicación
Esta es la idea clave: construir una cartera con las tres opciones benchmark líquidas que iguale la vanna y la volga de la opción objetivo. El costo de esta cartera de cobertura -- por encima de su valor Black-Scholes -- es la corrección de sonrisa.
Comience con una opción objetivo en un strike arbitrario K. Calcule su vanna y su volga bajo Black-Scholes (usando la vol ATM). Ahora encuentre pesos (x₁, x₂, x₃) sobre las tres opciones benchmark tales que:
Una vez que tiene los pesos, el precio VV es:
Arrastre el strike objetivo en el widget de arriba. Observe cómo cambian los pesos de replicación:
Objetivo cerca de la 25Δ put: Casi todo el peso va al benchmark de la put. Los benchmarks ATM y de la call contribuyen poco.
Objetivo cerca de ATM: El benchmark ATM domina. La corrección es pequeña porque BS es casi correcto en ATM.
Objetivo entre benchmarks: Los pesos se interpolan suavemente. La sonrisa en cualquier strike intermedio es una combinación ponderada de los tres puntos de referencia.
La fórmula
Cuando se calculan explícitamente los pesos de replicación, la corrección VV se divide limpiamente en dos términos: una corrección de vanna que crea skew y una corrección de volga que crea curvatura.
Término de volga: proporcional al butterfly. Simétrico: suma a ambas alas por igual.
Esta descomposición es la razón por la que el método se llama Vanna-Volga. Toda la corrección de sonrisa se explica por dos efectos:
La corrección de vanna es antisimétrica alrededor de ATM. Está impulsada por la cotización del risk reversal. Cuando el mercado cotiza un RR muy negativo (puts más caras que las calls), la corrección de vanna inclina la sonrisa hacia la izquierda. Para puts muy OTM, la corrección es máxima y positiva (suma prima). Para calls muy OTM, es negativa (resta prima).
La corrección de volga es simétrica alrededor de ATM. Está impulsada por la cotización del butterfly. Cuando el mercado cotiza un BF grande, la corrección de volga eleva ambas alas. ATM no se ve afectado (volga es casi cero ahí). Cuanto más se adentra en las alas, mayor es la corrección.
El gráfico de barras apiladas de arriba muestra ambas correcciones a lo largo de los strikes. Observe:
Las barras azules (vanna) son negativas a la izquierda y positivas a la derecha: este es el componente de skew.
Las barras naranjas (volga) son positivas en todas las alas: este es el componente de curvatura.
La línea verde es la corrección total. En el lado de las puts, vanna y volga se refuerzan mutuamente (ambas suman prima). En el lado de las calls, se cancelan parcialmente (vanna resta, volga suma). Por eso las alas de las puts suelen ser más empinadas que las de las calls.
A las mesas de FX les encanta, a las de renta variable no
Vanna-Volga es el modelo de sonrisa dominante en el mercado de divisas porque el mercado FX cotiza literalmente ATM, RR y BF. Los inputs del modelo son el lenguaje nativo del mercado. En renta variable y cripto, el mercado cotiza strikes directamente, y el supuesto de tres puntos de VV es demasiado rígido.
Por qué a FX le encanta: El mercado interbancario de opciones FX se ha estandarizado en convenciones de cotización que corresponden directamente a los inputs de Vanna-Volga. Un dealer ve ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 y de inmediato tiene las tres vols necesarias para VV. Sin paso de calibración. Sin optimizador. Solo álgebra.
Para vanillas de FX en deltas estándar, VV es rápido, preciso y libre de arbitraje. Para exóticos de primera generación (one-touch, double no-touch), VV da precios rápidos y aproximados que se acercan notablemente a los de un modelo completo.
Por qué renta variable/cripto no: Las opciones listadas de renta variable y cripto ofrecen una grilla completa de precios a través de muchos strikes y vencimientos. Usted tiene mucho más que tres puntos de datos. Ajustar un modelo de tres parámetros a treinta strikes desperdicia información.
Peor aún, la sonrisa VV no es lo bastante flexible para replicar las formas reales que se observan en los mercados de renta variable y cripto. Skews empinados de corto plazo, convexidad de las alas que varía con el vencimiento, estructura temporal del butterfly: nada de esto se captura con tres números.
En esos mercados, SVI, SSVI o SLV son mejores opciones porque pueden absorber toda la riqueza de la superficie observada.
Incluso en mesas que no usan VV para la valoración en producción, es valioso como modelo mental. "Esta opción cuesta más que BS por la vanna y la volga" es una explicación completa de por qué existen las sonrisas. La descomposición en skew (vanna) y curvatura (volga) ayuda a los traders a razonar sobre qué impulsa el precio de cualquier opción, incluso cuando la valoración real usa un modelo más sofisticado.
Extensiones: El método VV básico usa benchmarks de 25 delta. Algunas mesas lo extienden a cinco puntos (agregando la put y la call de 10 delta) para capturar mejor el comportamiento de las alas. Otras usan un "VV de segundo orden" que incluye griegas de orden superior. Pero llegado ese punto, usted está construyendo un modelo más complicado y bien podría usar SVI.
En cripto: El marco VV se usa ocasionalmente para cálculos mentales rápidos -- "¿cuánto debería costar esta put OTM dados el RR y el BF del mercado?" -- pero no es un modelo de producción. Las superficies de vol en cripto son demasiado ruidosas y empinadas para una interpolación de tres puntos. El valor es conceptual, no operativo.
A dónde ir después:
Black-Scholes -- el modelo base que VV ajusta
Referencia de griegas -- tratamiento completo de vanna, volga y otras sensibilidades de segundo orden
Parametrización SVI -- la alternativa basada en strikes para sonrisas de renta variable/cripto
Vol Local Estocástica -- el modelo de producción para valorar exóticos