SVI desde cero

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Sección 1

¿Qué es SVI?

SVI significa Stochastic Volatility Inspired. Es una fórmula de 5 parámetros que describe la forma de la sonrisa de volatilidad para un único vencimiento.

La mayoría de los modelos de sonrisa trabajan en el espacio de volatilidad implícita. SVI es diferente: parametriza la varianza implícita total como función del log-moneyness. Puede sonar como un rodeo, pero resulta que hace que las restricciones de arbitraje sean trivialmente simples.

La fórmula es:

Varianza total SVI

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Mueva los controles deslizantes de abajo para ver cómo cambia la curva de varianza total. El eje x es el log-moneyness (negativo = puts OTM, positivo = calls OTM). El eje y es la varianza implícita total.

Varianza total w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

¿Por qué “varianza total”?

Black-Scholes usa la volatilidad implícita (σ_imp). Pero la volatilidad depende tanto de la forma de la sonrisa como del tiempo al vencimiento. La varianza total w = σ_imp² · T elimina el factor tiempo, dejando una cantidad que crece monótonamente con el plazo. Esa monotonicidad es exactamente lo que se necesita para garantizar la ausencia de arbitraje de calendario.

Sección 2

Los 5 parámetros

Cada parámetro controla un aspecto geométrico de la sonrisa. Recórralos uno a uno y observe qué cambia.

La línea discontinua es la referencia base (una sonrisa típica con skew de puts). La línea sólida de color muestra qué ocurre al mover el parámetro resaltado. Todo lo demás permanece fijo.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

Predeterminado: 0.040Discontinua = referencia

Comportamiento de las alas: lejos del ATM, la sonrisa se aproxima a líneas rectas. La pendiente del ala de puts es b(1 − ρ) y la del ala de calls es b(1 + ρ). Con el skew de puts típico (ρ < 0), el ala izquierda es más empinada.

Pendientes asintóticas

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Estas alas lineales y acotadas son una de las ventajas clave de SVI. La sonrisa nunca extrapola hacia valores absurdos.

Sección 3

De la varianza a la volatilidad

SVI le da la varianza total w(k). La conocida sonrisa de IV está a solo una raíz cuadrada de distancia.

De varianza a IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Divida la varianza total entre el tiempo al vencimiento y luego tome la raíz cuadrada. Eso le da la volatilidad implícita en cada strike.

Abajo, ambas curvas se generan a partir de los mismos parámetros SVI. El panel izquierdo muestra la varianza total (el espacio en el que trabaja SVI). El panel derecho muestra la sonrisa de volatilidad implícita (el espacio en el que piensan los traders). Mueva los controles deslizantes y vea cómo ambos se actualizan simultáneamente.

Varianza total w(k)

Vol. implícita (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Observe que la curva de varianza es más suave y tiene más forma de “V” que la curva de volatilidad. La raíz cuadrada comprime los valores grandes y estira los pequeños, haciendo que la sonrisa de volatilidad parezca más redondeada.

Por qué esto importa en la práctica: al ajustar SVI, se optimiza en el espacio de varianza (donde vive la fórmula), pero la calidad del ajuste se evalúa observando los residuos de IV (donde cotizan los traders).

Sección 4

Restricciones de no arbitraje

No todas las combinaciones de parámetros SVI son válidas. Algunas crean sonrisas que violan las condiciones de no arbitraje. Use el widget de abajo para encontrar el límite.

Hay tres restricciones clave. Cuando alguna se viola, existe una oportunidad de ganancia sin riesgo, lo que significa que la sonrisa no puede ser el verdadero precio de mercado del riesgo.

Restricción butterfly

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Evita la varianza local negativa. Si esto falla, los spreads butterfly tienen costo negativo: dinero gratis.

Mínimo no negativo

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

El mínimo de la sonrisa debe estar por encima de cero. Una varianza total negativa no es físicamente posible.

Fórmula de momentos de Roger Lee

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Acota la rapidez con la que pueden crecer las alas. En la práctica, la restricción butterfly es más restrictiva para opciones de corto plazo.

Pruebe los presets de abajo y luego mueva los controles deslizantes para ver los límites. La curva se pone roja cuando se viola alguna restricción.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Sin arbitraje — este smile es seguro

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Sección 5

Calibración

Dadas las volatilidades implícitas observadas en el mercado, encuentre los 5 parámetros SVI que mejor las reproducen. Inténtelo a mano.

Los círculos naranjas son cotizaciones de mercado sintéticas: una sonrisa de BTC realista a 30 DTE. La curva verde es el ajuste SVI. Las líneas verticales muestran el residuo (error) en cada punto.

Ajuste los controles deslizantes para minimizar el RMSE. Pulse “Mostrar mejor ajuste” para ver un conjunto de parámetros cercano al óptimo.

RMSE44.82%(Deficiente)

Ajuste SVIDatos de mercadoResiduo

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

En la práctica: un optimizador numérico (Levenberg-Marquardt o SLSQP) hace esto en menos de 10 ms por vencimiento. El optimizador minimiza la suma ponderada de residuos al cuadrado mientras impone las restricciones de arbitraje de la Sección 4.

La inicialización importa: un valor inicial malo puede atrapar al optimizador en un mínimo local. Enfoque habitual: fijar a a partir de la varianza ATM, b a partir de la pendiente observada de las alas, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Adónde ir después:

Página de referencia de SVI — tabla completa de parámetros, detalles de ajuste, variantes

ORC Wing (Jump-Wing) — SVI reparametrizado para traders

SSVI — extendiendo SVI a la superficie completa