Volatilidad local estocástica desde cero
1/5La vol local acierta los precios pero falla la dinámica
El modelo de volatilidad local de Dupire hace algo notable: se calibra perfectamente a cada precio de opción vanilla del mercado, simultáneamente. Cero error de calibración. El problema es lo que sucede después.
La vol local asigna una volatilidad única σ(S, t) a cada nivel de spot y a cada instante en el tiempo. Dada la superficie observada de precios vanilla, existe exactamente una función de vol local que los reproduce todos. La construcción es determinista: sin optimización, sin error residual.
Entonces, ¿qué falla? La dinámica. La vol local predice cómo evolucionará el smile cuando el spot se mueva, y esa predicción es gravemente errónea.
Cuando el spot cae 5%, la vol local dice que el smile debería aplanarse en el ala izquierda. El modelo lee un spot más bajo e indexa en una sección diferente de σloc, que resulta ser más plana ahí. Pero en los mercados reales ocurre lo contrario: una caída del 5% hace que el smile se empine porque la vol realizada está subiendo y la demanda de protección a la baja está aumentando.
La volatilidad local es una fotografía perfecta del smile de hoy. Pero las fotografías no se mueven. Cuando el spot se desplaza, la volatilidad local predice el nuevo smile buscando una columna diferente en la misma tabla estática. El mercado, mientras tanto, ha revalorizado toda la tabla.
Esto importa para los exóticos. Una opción con barrera depende de cómo se ve el smile cuando el spot está cerca de la barrera, no solo de cómo se ve hoy. Si su modelo predice un smile futuro incorrecto, valora mal la barrera y la cubre mal.
La vol estocástica acierta la dinámica pero falla los precios
Heston, SABR y sus parientes tratan la volatilidad como una variable aleatoria con su propio proceso estocástico. Esto produce una evolución realista del smile: cuando el spot cae, la volatilidad sube y el smile se inclina más. Pero el ajuste a los precios vanilla de hoy es aproximado en el mejor de los casos.
Un modelo como Heston tiene cinco parámetros libres. Cinco números no pueden ajustar simultáneamente cientos de precios de opciones observados en todos los strikes y vencimientos. El ajuste siempre es un compromiso: decente cerca del ATM, progresivamente peor en las alas.
Podría añadir más parámetros (doble Heston, Bates con saltos), pero nunca cierra la brecha por completo. Siempre queda algún residuo de calibración. Para valorar vanilla y hacer market making, ese residuo es dinero que se deja sobre la mesa.
Los tres paneles de arriba cuentan la historia. Después de una caída del spot de 5%:
Vol local predice que el smile se aplana: incorrecto.
Vol estocástica predice que el smile se inclina más -- correcto, pero note que no coincidió perfectamente con el smile de hoy para empezar.
SLV logra ambas cosas: parte de un ajuste perfecto hoy y evoluciona de forma realista.
Si está cotizando vanilla, gana la vol local: las valora con exactitud. Si le importa cómo se comporta su libro cuando el spot se mueve, gana la vol estocástica: predice griegas realistas. Para valorar exóticos, necesita ambas. Ahí es donde entra SLV.
SLV combina ambos
La vol local estocástica ejecuta dos motores en paralelo. El componente de vol local se encarga de la calibración. El componente estocástico añade dinámica realista. Un ratio de mezcla α controla la combinación.
Second line: L sigue su propia difusión, impulsada por la vol-of-vol ν.
Special cases: cuando ν = 0, L es determinista y usted recupera la volatilidad local pura. Cuando σloc es constante, usted recupera la volatilidad estocástica pura. La proporción de mezcla α controla cuánta de la varianza total proviene de cada componente.
La intuición: σloc(S, t) es la función de Dupire que ya está calibrada al mercado. Multiplicar por un L estocástico perturba la dinámica sin destruir la calibración, siempre que L se calibre de modo que la perturbación se promedie. Esa calibración de L es exactamente lo que hace la función de apalancamiento.
La proporción de mezcla α (a menudo incorporada en el parámetro de vol-of-vol) determina cuánta aleatoriedad va a L en lugar de permanecer en σloc. En un extremo (α = 0), toda la varianza se explica por la volatilidad local y la dinámica del smile es determinista. En el otro extremo (α = 1), la volatilidad local es plana y el proceso estocástico impulsa todo.
Arrastre el control deslizante de arriba. Observe el smile futuro predicho:
α = 0 (volatilidad local pura): El smile futuro apenas se mueve respecto al de hoy. El ala izquierda se aplana ligeramente. Esta es la patología de la vol local.
α = 1 (volatilidad estocástica pura): El smile futuro se empina drásticamente. La vol sube en todos los strikes. Esto es realista, pero puede sobrecorregir.
α = 0.5 (equilibrado): Un punto medio. El smile se empina, pero moderadamente. Aquí es donde aterrizan la mayoría de las calibraciones en producción.
La función de apalancamiento
L(S, t) es el pegamento de la calibración. Se calcula de modo que la volatilidad local esperada —promediando sobre todas las trayectorias estocásticas— coincida con el mercado. Cuando la mezcla está equilibrada, L se mantiene cerca de 1 en todas partes. Cuando un componente domina, L debe trabajar más.
Formalmente, L(S, t) se define por la condición:
En la práctica, L se calcula numéricamente usando una EDP hacia adelante (Fokker-Planck) o un método de partículas (Monte Carlo con estimación de densidad). La EDP hacia adelante propaga la densidad conjunta de (S, L) hacia adelante en el tiempo y extrae L en cada punto de la malla. El método de partículas simula muchas trayectorias, las agrupa por nivel de spot y resuelve L dentro de cada grupo.
La idea clave: cuando α está cerca de 0.5, L es cercano a 1 en todas partes porque ambos componentes comparten la carga de manera equitativa. Cuando α está cerca de 0 o 1, L desarrolla estructura -- picos en las alas, valles cerca del ATM -- porque un componente hace casi todo el trabajo y L debe compensar.
El mapa de calor de arriba muestra L(S, t) a lo largo del spot y del tiempo. Arrastre el control de mezcla y observe:
Equilibrado (α ≈ 0.5): Color oscuro uniforme. L es aproximadamente 1 en todas partes. Ambos componentes contribuyen por igual. Este es el punto de operación ideal.
Dominado por volatilidad local (α ≈ 0): L desarrolla zonas cálidas (naranja/rojo) en las alas. El componente estocástico tiene poca varianza propia, así que L debe hacer un gran esfuerzo para ajustarse al mercado.
Dominado por volatilidad estocástica (α ≈ 1): L desarrolla zonas frías (azules). El componente estocástico se excede en algunas regiones y L debe contenerlo.
El estándar de valoración de exóticos
SLV es lo que los grandes bancos realmente ejecutan para barreras, asiáticas y cliquets. Es el estándar de producción porque es el único modelo que se calibra simultáneamente a las vanilla y produce precios de exóticos defendibles.
Barreras. Una opción knock-out muere cuando el spot toca una barrera. Su valor depende de forma crítica de cómo se ve el smile cerca del nivel de la barrera. La vol local obtiene un smile incorrecto ahí. La vol estocástica acierta la dinámica pero falla los precios iniciales. SLV logra ambas cosas, y el precio de la barrera resultante puede diferir del de vol local en varios puntos porcentuales del nocional.
Asiáticas. Una opción asiática promedia el spot durante una ventana. El promediado amortigua el efecto de la dinámica del smile, por lo que la diferencia entre SLV y vol local es menor aquí. Pero sigue sin ser cero, y a las mesas que operan nocionales grandes les importa.
Cliquets. Opciones de inicio diferido que se reinician periódicamente. Estas son extremadamente sensibles al smile forward -- cómo se verá el smile en cada fecha de reinicio. La ventaja de SLV es mayor aquí porque los cliquets son esencialmente una apuesta sobre la dinámica del smile.
SLV no es gratis. La función de apalancamiento debe recalcularse cada vez que cambian los parámetros de vol estocástica, lo que convierte la calibración en un proceso iterativo: ajustar los parámetros de vol estocástica, calcular L, verificar el ajuste vanilla, corregir, repetir. Este bucle externo es computacionalmente costoso e introduce riesgo de modelo en la elección de α.
La elección de la proporción de mezcla es en sí misma un juicio subjetivo. Diferentes valores de α producen distintos precios de exóticos mientras replican las mismas vanillas. Los bancos suelen fijar α calibrando con operaciones de exóticos líquidas (reversiones de barrera en FX, por ejemplo) o mediante el juicio experto sobre cuánto importa la dinámica del smile para su cartera.
Riesgo de modelo. El ratio de mezcla es el parámetro de riesgo de modelo más importante en la valoración de exóticos en producción. Dos mesas que usan SLV con distintos valores de α coincidirán en cada vanilla pero discreparán en las barreras. Esto no es un error: refleja una incertidumbre genuina sobre cómo evolucionará el smile.
En cripto: SLV es menos común porque el mercado de exóticos es más pequeño y la propia superficie vanilla es ruidosa. La mayoría de las mesas cripto usan SVI o SSVI para el ajuste de la superficie, y vol local o simulación directa para productos dependientes de la trayectoria. A medida que el mercado de opciones cripto madure, SLV será más relevante.
Adónde ir después:
Local Volatility -- el modelo de Dupire en detalle
Heston Model -- el motor de vol estocástica más común dentro de SLV
SABR Model -- vol estocástica sin reversión a la media, popular en tasas
Vanna-Volga -- una construcción del smile más simple a partir de tres cotizaciones de mercado