SSVI desde cero

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Sección 1

De SVI a SSVI

SVI ajusta una sonrisa de volatilidad en un solo vencimiento. Lo hace bien -- cinco parámetros, una forma limpia. Pero una superficie de volatilidad tiene muchos vencimientos apilados. Ajustar cada slice de forma independiente crea un problema.

Cuando ajusta cada tramo con sus propios parámetros SVI, nada garantiza que la varianza total aumente de un vencimiento al siguiente en cada strike. Si no lo hace, tiene un arbitraje de calendar spread -- una operación de dinero gratis en la que vende la opción de vencimiento corto y compra la de vencimiento largo.

SSVI resuelve esto construyendo toda la superficie a partir de una sola parametrización. En lugar de 5 parámetros por slice, la superficie completa está definida por:

Las dos piezas clave

θ(t) = varianza total ATM en el tiempo t

φ(θ) = función de skew ATM (controla la pendiente de la sonrisa)

θ(t) se observa directamente en los precios de opciones ATM. φ(θ) codifica cómo varía la forma de la sonrisa con el vencimiento. Junto con un único parámetro de skew ρ, definen toda la superficie.

Analogía

Piense en el SVI por slice como darle a cada piso de un edificio su propio arquitecto. Cada piso puede verse muy bien, pero las escaleras entre pisos podrían no alinearse. SSVI contrata a un solo arquitecto para todo el edificio -- los pisos individuales están un poco menos personalizados, pero todo conecta.

Sección 2

La parametrización SSVI

Una fórmula. Tres controles. Mueva los deslizadores de abajo y observe cómo la sonrisa cambia de forma.

Varianza total SSVI

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k es el log-moneyness (ln(K/F)). En k=0, usted está at the money (ATM). Un k negativo corresponde a calls in the money (puts OTM).

Juegue con cada parámetro para desarrollar la intuición de lo que controla:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ desplaza el nivel general -- una mayor varianza ATM significa que toda la sonrisa sube. ρ inclina la sonrisa -- un valor de ρ negativo crea el skew de puts que los traders esperan. φ controla qué tan anchas son las alas.

Sección 3

Arbitraje de calendar spread

El objetivo central de SSVI: ausencia de arbitraje de calendario por construcción. Pero solo si φ se elige correctamente.

El arbitraje de calendar spread significa que la varianza total en algún strike disminuye de un vencimiento más corto a uno más largo. Eso no puede ocurrir en un mercado justo -- le daría dinero gratis.

A continuación, compare una mala elección de φ (constante, ignora el vencimiento) con la buena forma de ley de potencia. Arrastre el deslizador del panel izquierdo y observe el indicador de violación.

Phi constante = 3.0Sin violaciones

phi3.0

Un phi constante ignora el vencimiento. El smile mantiene la misma pendiente en cada vencimiento, lo que puede hacer que la varianza total disminuya al pasar a vencimientos más largos en algunos strikes.

Phi(theta) de ley de potenciaSin violaciones

El phi de ley de potencia decae a medida que theta crece, aplanando el smile en los vencimientos más largos. La varianza total es monótonamente creciente en el tiempo en cada strike: no hay arbitraje de calendario.

La φ constante mantiene la sonrisa igual de empinada en cada vencimiento. A medida que θ crece, la sonrisa empinada empuja la varianza total en las alas por encima de lo debido para vencimientos cortos, pero no lo suficiente para los largos -- creando cruces.

La forma de ley de potencia de φ decae a medida que θ crece, aplanando naturalmente la sonrisa en los vencimientos más largos. Esto garantiza que w(k, θ) sea monótonamente creciente en θ para todo k.

Sección 4

La forma de ley de potencia

Dos parámetros controlan toda la superficie. Esa es la recompensa por todas las restricciones que impone SSVI.

Phi de ley de potencia

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 controla la amplitud general de la sonrisa. γ ∈ [0, 1] controla qué tan rápido se aplana la sonrisa con el vencimiento. La ausencia de arbitraje de calendario requiere η(1 + |ρ|) < 2.

Mueva los deslizadores de abajo. Observe cómo cambia el mapa de calor: el eje x es el log-moneyness, el eje y es el vencimiento y el color es la volatilidad implícita.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

Superficie de volatilidad implícita SSVI

Vencimiento (años)

1.00.530.05

-0.800.8

Log-moneyness (k)

IV

19%51%

η escala la amplitud de la sonrisa en toda la superficie. Súbalo y las alas se ensanchan en todos los vencimientos. γ cambia qué tan rápido se aplana la sonrisa con el vencimiento. Un γ bajo significa que las sonrisas de largo plazo se mantienen empinadas; un γ alto hace que se aplanen rápido.

Tres parámetros (ρ, η, γ) más la curva de varianza ATM observada θ(t). Esa es toda la superficie. Compárelo con los más de 25 parámetros que requieren cinco slices de SVI por slice.

Adónde ir a continuación:

Referencia de SSVI -- la fórmula completa, consejos de ajuste y tabla comparativa

Parametrización SVI -- el modelo por slice que SSVI extiende

Cómo se construyen las superficies -- el pipeline de producción