SANOS desde cero
1/5Los modelos paramétricos tienen un sesgo de forma
Todo modelo paramétrico — SVI, SABR, ajustes polinómicos — comienza eligiendo una familia de fórmulas. Esa familia determina qué formas son posibles antes de mirar una sola cotización de mercado.
SVI tiene cinco parámetros. Eso le da cinco grados de libertad para ajustarse al smile del mercado. En mercados líquidos y bien comportados, cinco suele ser suficiente. El smile es suave, vagamente parabólico, y SVI lo captura a la perfección.
Pero los mercados no siempre se comportan bien. Un evento de resultados, un exploit de protocolo, un titular regulatorio — pueden producir bultos localizados en la volatilidad implícita en strikes específicos. Una curva de cinco parámetros no puede desarrollar un bulto en K=90 y mantenerse plana en el resto. Tendría que deformar toda la curva para acomodar una sola característica local.
SANOS adopta el enfoque opuesto. En lugar de elegir una familia de fórmulas, coloca un valor en cada nodo de una malla y deja que los datos decidan qué forma toma la superficie. Los únicos requisitos: debe ser suave, debe estar libre de arbitraje y debe respetar las cotizaciones bid-ask observadas.
SVI es como ajustar una regla flexible de plantilla a un conjunto de puntos — la regla puede curvarse, pero no puede formar un quiebre. SANOS es como colocar una malla flexible sobre los puntos, donde cada intersección puede moverse de forma independiente. La malla puede capturar características locales que la regla no puede.
La malla reemplaza a la fórmula
En SANOS, la superficie de volatilidad se define mediante una malla de nodos: un valor en cada intersección (strike, vencimiento). 9 strikes y 5 vencimientos le dan 45 variables libres. Escale a 20 strikes y 5 vencimientos y tendrá 100.
Cada nodo contiene un valor de varianza total (o, equivalentemente, una volatilidad implícita). La superficie entre nodos se interpola. La diferencia clave con los modelos paramétricos: no hay una fórmula que vincule estos valores entre sí. Cada nodo es una variable libre, restringida solo por la ausencia de arbitraje y la suavidad.
Abajo, la malla muestra valores de volatilidad implícita a lo largo de strikes y vencimientos. Observe el bulto localizado cerca de K=90, T=0.25 — este es el tipo de característica que un modelo paramétrico pasaría por alto. El panel derecho muestra el smile en el vencimiento seleccionado, con el mejor ajuste SVI superpuesto para comparar.
Haga clic en cualquier celda para ajustar su volatilidad. Observe cómo el smile de SANOS (verde) se desvía de SVI (amarillo punteado) donde la malla captura estructura local. SVI está obligado a mantenerse suave globalmente; la malla puede seguir los datos punto por punto.
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
No-arbitraje como restricciones lineales
Con 100 variables libres, se necesitan salvaguardas. SANOS las obtiene de condiciones estáticas de no-arbitraje, expresadas como desigualdades lineales sobre los valores de la malla.
Dos restricciones clave:
Restricción de calendar spread. La varianza total (w = σ^2 × T) debe ser no decreciente en T para cada strike. Si decreciera, podría vender una opción de corto plazo y comprar una de mayor plazo al mismo strike con ganancia sin riesgo. En la malla, esto significa que cada columna debe aumentar de arriba hacia abajo.
Restricción de butterfly spread. Los precios de las opciones call deben ser convexos en el strike en cada vencimiento. De forma equivalente, la segunda diferencia de la varianza total entre strikes adyacentes debe ser no negativa. Esto evita una densidad de probabilidad negativa — una imposibilidad física.
Ambas restricciones son lineales en los valores de la malla. Calendario: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. Sin términos no lineales, sin acoplamientos complicados. Solo desigualdades que puede entregar a un solucionador lineal.
Esta es la gran ventaja de trabajar en el espacio de varianza total sobre una malla: las condiciones de no-arbitraje que serían no lineales en volatilidad implícita se vuelven lineales en varianza total. Todo el problema de construcción de la superficie permanece en el dominio de la programación lineal.
La programación lineal encuentra la respuesta
Reúna todas las piezas: valores de los nodos como incógnitas, límites bid-ask como restricciones de caja, no-arbitraje como desigualdades lineales, suavidad como objetivo. El conjunto es un programa lineal.
Un LP tiene una propiedad crucial: sin mínimos locales. La región factible es un politopo convexo, y el óptimo siempre está en un vértice. A diferencia de la calibración de SVI (que es no lineal y puede quedar atrapada en mínimos locales según la inicialización), el LP siempre encuentra el óptimo global.
Las cotizaciones bid-ask definen restricciones de caja: en cada strike observado, la varianza total debe estar entre los valores implícitos del bid y del ask. Cuanto más ajustado el spread, más pequeña la caja. Cuanto más amplio el spread, más libertad tiene SANOS para encontrar una superficie suave y libre de arbitraje.
Observe cómo la región factible (verde) se reduce a medida que se añaden restricciones. Positividad, calendar, butterfly y bid-ask — cada una elimina superficies imposibles. La solución del LP (punto amarillo) se ubica en un vértice del politopo final. Ese vértice es, garantizado, la superficie más suave y libre de arbitraje consistente con todos los datos.
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
Cuándo gana SANOS y cuándo no
SANOS no es universalmente mejor que los modelos paramétricos. Tiene un nicho específico, y saber cuándo usarlo importa más que saber cómo funciona.
SANOS gana cuando:
Datos escasos. Cuando tiene 5 cotizaciones y necesita una superficie completa, los modelos paramétricos tienen problemas porque no hay suficientes puntos para fijar los parámetros. SANOS puede construir una superficie con datos escasos porque las propias restricciones de no-arbitraje aportan información — reducen el conjunto factible incluso sin cotizaciones de mercado.
Spreads bid-ask amplios. Los ajustes paramétricos a precios medios pueden producir superficies libres de arbitraje que quedan fuera del bid-ask. SANOS trata el spread como información, no como ruido. Cuanto más amplio el spread, más libertad para encontrar una superficie suave y libre de arbitraje.
Características locales. Bultos de volatilidad por eventos, quiebres por posicionamiento concentrado, efectos específicos de un vencimiento. Cualquier estructura que una fórmula de cinco parámetros no pueda expresar.
Amplíe el control del spread y observe cómo el ajuste de SANOS (verde) diverge del precio medio (naranja punteado). Ambos pasan por las barras bid-ask, pero SANOS usa la libertad extra para mantenerse más suave. Cuando los spreads son ajustados, ambos ajustes convergen.
SANOS pierde cuando:
Sin interpretación dinámica. Los parámetros de SVI (a, b, rho, m, sigma) tienen significado económico: varianza general, magnitud del skew, correlación, desplazamiento. Los nodos de SANOS son solo números en una malla. Pierde la capacidad de decir "el skew aumentó en 0.02" — solo puede decir "estos 20 nodos se movieron".
Almacenamiento y comunicación. Una superficie SVI son 5 números por vencimiento — trivial de almacenar y transmitir. Una superficie SANOS son cientos de valores de nodos. Para bases de datos, cachés y protocolos de red, esto importa.
Trayectoria probada en batalla. SVI se ha usado por más de 20 años. SANOS es más nuevo. En sistemas de producción donde importan la fiabilidad y la familiaridad del equipo, esto es un costo real.
El patrón práctico: use SANOS para ajuste y valuación (donde importa la precisión local), use SVI para almacenamiento y comunicación (donde importa la compacidad). Se complementan entre sí.
Adónde ir después:
Parametrización SVI — el modelo paramétrico que SANOS está diseñado para complementar
Modelo SABR — un modelo de volatilidad estocástica con interpretación dinámica
Volatilidad local desde cero — cómo se extrae la superficie de volatilidad local a partir de la volatilidad implícita
Métodos de interpolación — comparación de todos los métodos