SABR desde cero
1/5SABR le da a la vol su propio proceso
En Black-Scholes, la volatilidad es una constante. En el mundo real, la vol se mueve — y se mueve con el spot. SABR captura ambos hechos.
El modelo SABR es un sistema de dos SDE acopladas. El precio forward F y la volatilidad estocástica σ evolucionan juntos:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
Cuatro parámetros, cada uno con un significado de mercado distinto. α es la vol-of-vol — controla con qué agresividad fluctúa la propia volatilidad. β es el backbone — determina si el proceso se comporta más como un movimiento browniano geométrico (β=1) o un movimiento browniano aritmético (β=0). ρ es la correlación entre los movimientos del spot y de la vol — cuando el spot cae, ¿sube la vol? (En renta variable/cripto, sí: ρ < 0.)
La idea clave: la vol no es solo desconocida — es aleatoria y está correlacionada con el activo subyacente. Esta única idea genera smiles realistas sin necesitar toda una superficie de parámetros.
SABR nació en el mundo de las tasas (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Todas las mesas de swaptions lo usan para interpolar entre strikes cotizados. La razón es simple: cuatro parámetros por vencimiento, cada uno se corresponde con algo observable, y se obtiene una fórmula analítica para la volatilidad implícita. No hace falta Monte Carlo para el smile.
β controla el backbone
El exponente β determina cómo escala la vol instantánea con el nivel del forward. Define el carácter del proceso subyacente antes de que la vol-of-vol o la correlación entren siquiera en juego.
β = 1 (lognormal): Los movimientos porcentuales tienen tamaño constante. Si BTC está en 60k, un movimiento del 1% son $600. Si BTC está en 30k, un movimiento del 1% son $300. La volatilidad en dólares escala con el precio. Es el supuesto clásico del GBM.
β = 0 (normal): Los movimientos en dólares tienen tamaño constante. Ya sea que la tasa esté en 2% o en 5%, la desviación estándar diaria en puntos básicos es la misma. Es común en los mercados de tasas.
β = 0.5 (tipo CIR): Un punto intermedio. La vol escala con la raíz cuadrada del precio. Popular en cripto y FX, donde ningún extremo encaja perfectamente.
Deslice β abajo y observe los tres smiles de referencia. Con β=1, el smile es relativamente simétrico en log-moneyness. Con β=0, el perfil del skew cambia drásticamente. El backbone determina cómo se desplaza el smile cuando el spot se mueve — así es como β se vincula con el comportamiento sticky-strike vs sticky-delta.
En la práctica, β suele fijarse en lugar de calibrarse. Las mesas de tasas suelen usar β=0.5 o β=0. Las mesas de renta variable y cripto suelen usar β=1. La razón: β es difícil de separar de ρ en una calibración de un solo vencimiento. Fijar β y dejar que los otros tres parámetros absorban el smile es la práctica estándar.
La aproximación de Hagan
La razón por la que SABR conquistó el trading de tasas: Hagan et al. derivaron una aproximación en forma cerrada para la volatilidad implícita de Black-Scholes como función del strike. Sin resolver PDE, sin simulación — solo una fórmula.
Las barras apiladas de abajo descomponen la volatilidad implícita en cada strike en tres contribuciones aditivas. La base verde es el nivel de vol ATM (lo que obtendría con ρ=0 y ν=0 — CEV puro). La capa naranja es la corrección de skew de primer orden proveniente de ρ. La capa azul es la corrección de convexidad proveniente de ν (vol-of-vol).
En el dinero (ATM), las correcciones de skew y convexidad son aproximadamente cero — domina la base. En las alas, las correcciones crecen. Ajuste los deslizadores para ver cómo cada parámetro controla su capa correspondiente.
Observe cómo las barras naranjas del skew cambian de signo: son positivas de un lado y negativas del otro (cuando ρ ≠ 0). Las barras azules de convexidad son siempre positivas en las alas, añadiendo prima tanto a las puts profundas como a las calls profundas.
ρ y ν dan forma al smile
Una vez que β y α fijan el backbone y el nivel general de vol, la forma del smile está controlada por dos parámetros: ρ (correlación) inclina el smile y ν (vol-of-vol) lo curva.
ρ es el control del skew. Cuando ρ < 0, las caídas del spot vienen con subidas de vol — las puts se vuelven más caras que las calls. Cuando ρ > 0, ocurre lo contrario: las calls son más caras. Con ρ = 0, el smile es simétrico (dado β=1 o viéndolo en log-moneyness).
ν es el control de la curvatura. Una mayor vol-of-vol significa que la vol misma es más volátil, lo que encarece ambas alas. El smile se ensancha y la curtosis de la distribución terminal aumenta. Con ν = 0, no hay smile en absoluto — vuelve a un modelo CEV puro.
Los dos paneles de abajo aíslan cada efecto. Izquierda: fije ν, deslice ρ. Derecha: fije ρ, deslice ν. La línea discontinua es la referencia (ρ=0 o ν=0).
ν = 0.40: Vol de vol moderada: curvatura visible en las alas.
Esta separación es poderosa para la intuición, pero imperfecta en la práctica. ρ y ν no son totalmente ortogonales — cambiar uno desplaza el valor óptimo del otro durante la calibración. Pero el modelo mental se mantiene: ρ rota el smile, ν lo infla.
Calibración y errores comunes
Calibrar SABR significa encontrar (α, ρ, ν) que hagan que el smile del modelo coincida con las IV observadas del mercado — con β normalmente fijo. Abajo, intente ajustar el modelo a mano a datos de mercado sintéticos.
Los círculos naranjas son las volatilidades implícitas de "mercado". La curva verde es su modelo SABR. Las líneas verticales muestran los residuales — la brecha entre modelo y mercado en cada strike. Arrastre los deslizadores para minimizar el SSE (suma de errores al cuadrado). Una buena calibración deja los residuales cerca de cero en todas partes, no solo en ATM.
Algunas cosas que los profesionales aprenden rápido:
La aproximación de Hagan explota en las alas. Para opciones muy OTM (por ejemplo, puts de 10-delta sobre un swaption a 2Y), la fórmula de Hagan puede producir volatilidades implícitas negativas o que se disparan a niveles absurdos. Este es el famoso problema de la "explosión de las alas". Las soluciones incluyen la formulación SABR libre de arbitraje (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) o enfoques exactos basados en PDE.
Las tasas negativas rompieron el modelo estándar. Con β > 0, el forward F debe ser positivo. Cuando las tasas de interés se volvieron negativas (EUR, JPY, CHF), las mesas pasaron a shifted SABR: aplicar el modelo a (F + shift), donde el shift hace que el forward efectivo sea positivo.
Para cripto, β suele fijarse en 0.5 o 1.0. Las superficies de volatilidad cripto tienen skew extremo y colas gordas. β=1 (lognormal) es la elección más común, ya que los precios cripto no pueden ser negativos. Algunas mesas usan β=0.5 para un mejor ajuste en las alas.
SABR es por vencimiento, no un modelo de superficie. Cada vencimiento recibe su propia calibración de (α, ρ, ν). El modelo no dice nada sobre cómo estos parámetros evolucionan entre vencimientos. Para consistencia en la estructura temporal, se necesitan restricciones adicionales o un marco distinto (como SSVI o vol local-estocástica).
A dónde ir después:
Parametrización SVI — un modelo a nivel de superficie con garantías contra el arbitraje de calendar spread
Volatilidad Local — un enfoque complementario: vol determinista que ajusta exactamente todas las vanillas
Métodos de Interpolación — comparación de todos los métodos de smile/superficie