Rough Bergomi desde cero
1/5La volatilidad tiene trayectorias rugosas
Cuando los investigadores midieron cómo se comporta la volatilidad realizada a alta frecuencia, encontraron algo que rompe todos los modelos clásicos: la autocorrelación de los incrementos de vol decae según una ley de potencias, no exponencialmente. Las trayectorias de vol son mucho más irregulares de lo que se suponía.
En Heston, SABR o cualquier modelo basado en difusión, el proceso de varianza es impulsado por un movimiento browniano estándar. El BM tiene un exponente de Hurst de H = 0.5, lo que significa que sus incrementos no están correlacionados. Las trayectorias resultantes son continuas pero lo bastante suaves como para diferenciarlas "la mayor parte del tiempo" en un sentido intuitivo.
Gatheral, Jaisson y Rosenbaum (2018) midieron la vol realizada de índices bursátiles y acciones individuales. Analizaron cómo decae la autocorrelación de los incrementos del logaritmo de la volatilidad con el rezago. El resultado: decae como una ley de potencias, γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0.1. No H = 0.5. No H = 0.3. H está cerca de cero.
Imagine dibujar una línea con una regla frente a garabatear con un bolígrafo mientras alguien le golpea el codo. Los modelos clásicos usan la regla. La vol rugosa dice que el garabato está más cerca de la realidad. El bolígrafo cambia de dirección constantemente en cada escala temporal, no solo a la frecuencia de algún proceso OU con reversión a la media.
¿Qué significa H ≈ 0.1 en la práctica? Los incrementos de vol están fuertemente anticorrelacionados. Si la vol subió en los últimos cinco minutos, es más probable que baje en los próximos cinco. Esta reversión constante en cada escala temporal es lo que hace que la trayectoria luzca rugosa -- irregular y fractal, como una costa en lugar de una autopista.
Esto no es una elección de modelado. Es un hecho empírico observado en acciones, índices, FX y cripto. La universalidad de H ≈ 0.1 es uno de los hallazgos más sorprendentes de la econometría financiera moderna.
Arrastre el control deslizante de arriba. En H = 0.5, la autocorrelación es cero en todos los rezagos -- BM estándar, sin memoria. A medida que baja H hacia 0.1, la autocorrelación se vuelve fuertemente negativa. Los incrementos están anticorrelacionados. Eso es la rugosidad.
Qué controla H
H es el exponente de Hurst. Es el único número que gobierna cuán rugoso o suave se ve un proceso estocástico. Todo en la teoría de vol rugosa deriva de que H sea mucho menor que 0.5.
H = 0.5: Movimiento browniano estándar. Esto es lo que usa Heston. Los incrementos no están correlacionados. Las trayectorias son continuas pero no diferenciables. La rugosidad "por defecto" que asumen las finanzas clásicas.
H < 0.5: Rugoso. Los incrementos están anti-correlacionados. Cuanto más bajo es H, más rugosa es la trayectoria. En H = 0.1, las trayectorias parecen dibujadas por un sismógrafo durante un terremoto. Cada oscilación hacia arriba es probable que sea seguida por una oscilación hacia abajo, en cada escala temporal.
H → 0: Extremadamente rugoso. En el límite, la trayectoria se vuelve tan irregular que apenas es continua. A efectos prácticos, H ≈ 0.1 es lo suficientemente rugoso para coincidir con los mercados reales.
H > 0.5: Suave (persistente). Los incrementos están correlacionados positivamente. Las trayectorias tienen tendencia. Este régimen no es relevante para la volatilidad pero aparece en algunos modelos de hidrología y tráfico de redes.
El panel superior muestra tres trayectorias de varianza lado a lado en H = 0.1, 0.3 y 0.5. La diferencia visual es dramática. En H = 0.5 la trayectoria serpentea suavemente. En H = 0.1 se ve como estática en una pantalla de TV -- reversiones constantes, picos irregulares.
Use el control deslizante del panel inferior para recorrer H de forma continua. Observe cómo la trayectoria se transforma de suave a rugosa a medida que baja H. Esto no es un parámetro de un modelo particular -- es una propiedad medible de datos reales de volatilidad.
El modelo rough Bergomi
Bayer, Friz y Gatheral (2016) tomaron el hallazgo empírico de la vol rugosa y construyeron un modelo de valoración a su alrededor. El proceso de varianza es impulsado por un movimiento browniano fraccional en lugar de un BM estándar. El resultado es elegante, parsimonioso y no markoviano.
η (eta): vol-of-vol. Controla cuánto se desvía la varianza de la curva forward. Mayor η = sonrisa más amplia.
WH(t): movimiento browniano fraccionario con exponente de Hurst H. Este es el driver rugoso.
−½η²t2H: corrección de convexidad que garantiza E[v(t)] = ξ₀(t). El modelo se calibra automáticamente a la estructura temporal de varianza.
El precio spot sigue la difusión log-normal habitual con la varianza instantánea v(t):
Cuente los parámetros libres: H (exponente de Hurst), η (vol-of-vol), y ρ (correlación spot-vol). Eso son tres parámetros en total, más la curva de varianza forward ξ₀(t) que se lee del mercado. Compárelo con los cinco parámetros libres de Heston. El modelo es más parsimonioso.
La diferencia crítica con respecto a Heston: este modelo no es markoviano. En Heston, el futuro de la varianza depende únicamente del nivel actual de varianza. En rough Bergomi, el futuro depende de toda la historia de la trayectoria. El BM fraccionario tiene la dependencia de largo alcance incorporada. No puede resumir el estado en un solo número.
Alterne entre Markov y rugoso arriba. Dos trayectorias de varianza llegan al mismo nivel en el instante "AHORA", pero llegaron por rutas diferentes. En Heston (Markov), sus distribuciones futuras son idénticas -- el modelo no tiene memoria. En rough Bergomi, la trayectoria que estaba subiendo tiene un cono futuro distinto que la trayectoria que estaba bajando. La historia queda incorporada en la dinámica.
Si usted es un trader de vol y ve la vol realizada a 30 días en 45%, quiere saber: ¿llegó ahí por un salto desde 20% (probable reversión rápida a la media) o subiendo lentamente desde 40% (probable persistencia)? Heston no puede distinguir estos dos escenarios. Rough Bergomi sí. La historia de la trayectoria contiene información sobre el futuro.
Por qué la vol rugosa explica las smiles de corto plazo
La aplicación estrella de la teoría de rough vol: predice que el skew ATM escala como TH−0.5. En H = 0.1, eso significa que el skew se dispara para vencimientos cortos -- exactamente lo que muestran los mercados de cripto y de acciones.
El skew ATM es la pendiente de la volatilidad implícita como función del log-moneyness, evaluada at the money. Todo modelo de vol estocástica predice una relación específica entre este skew y el vencimiento T:
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4. El skew se dispara cuando T → 0. Coincide con los datos reales.
Este es el remate de todo el programa de vol rugosa. Los modelos clásicos predicen una estructura temporal del skew demasiado plana en el extremo corto. Pueden ajustar el skew a 3 meses, pero tienen dificultades con el skew a 1 semana o 1 día. Los traders saben desde hace años que las smiles de corto plazo son más pronunciadas de lo que predice Heston. La vol rugosa explica por qué: la rugosidad del proceso de varianza subyacente controla directamente cuán rápido crece el skew a medida que se acorta el vencimiento.
El gráfico de arriba muestra los tres regímenes en escala logarítmica. En H = 0.1 (verde), la curva de skew es pronunciada -- el skew de corto plazo es mucho mayor que el de largo plazo. En H = 0.5 (rojo, tipo Heston), la curva es casi plana. Los puntos amarillos son datos empíricos de BTC y siguen de cerca la curva de H = 0.1.
Esto no es una coincidencia. Cuando mide H a partir de los datos de vol realizada de BTC, obtiene H ≈ 0.1. Cuando observa la estructura temporal del skew implícita en las opciones de BTC, escala como T−0.4. La teoría y los datos coinciden.
Por qué Heston se equivoca en esto: El proceso de varianza CIR de Heston está impulsado por un BM estándar (H = 0.5). No puede producir un decaimiento del skew de tipo ley de potencias con un exponente por debajo de cero. Puede hacer que el skew de Heston sea pronunciado aumentando σ (vol-of-vol), pero eso viola la condición de Feller y crea problemas numéricos. Rough Bergomi logra un skew empinado a corto plazo de forma natural, sin ninguna contorsión de parámetros.
Desafíos de valoración
Rough Bergomi es teóricamente hermoso y está fundamentado empíricamente. Pero es costoso de usar. Sin precios en forma cerrada, sin PDE, sin truco rápido de Fourier. Solo Monte Carlo, e incluso eso es lento por la estructura no markoviana.
Sin función característica de forma cerrada. La característica estrella de Heston es su valoración semianalítica mediante inversión de Fourier. Rough Bergomi no tiene esto. El driver de BM fraccionario rompe la estructura afín que hace resoluble la función característica de Heston.
Solo Monte Carlo. Para valorar una opción vanilla bajo rough Bergomi, usted simula trayectorias del proceso de varianza, calcula los precios spot terminales y promedia los payoffs. Convergencia estándar de Monte Carlo: 1/√N. Para obtener un precio con precisión de 1 punto básico, necesita muchísimas trayectorias.
Simular fBM es costoso. El BM estándar es Markov: para simular el siguiente paso, solo necesita el valor actual. El fBM es no markoviano: para simular correctamente el siguiente paso, necesita todo el historial de la trayectoria. Una descomposición de Cholesky ingenua cuesta O(N²) por trayectoria en memoria y O(N³) en tiempo, donde N es el número de pasos temporales. Eso es brutal para trayectorias largas.
Esquemas híbridos. Bayer, Friz y Gatheral propusieron un esquema híbrido que divide el kernel del fBM en una parte "cercana" (calculada de forma exacta) y una parte "lejana" (aproximada con unas pocas funciones base). Esto reduce el costo a aproximadamente O(N · log N) por trayectoria, lo que hace factible la calibración pero aún no es lo suficientemente rápido para valoración en tiempo real en una mesa de trading.
Sin EDP. Los modelos markovianos como Heston pueden valorarse mediante EDPs (diferencias finitas). Esto proporciona una valoración rápida basada en malla. Los modelos no markovianos no tienen un espacio de estados de dimensión finita, por lo que no puede escribir una EDP. La "maldición de la no markovianidad" es que el estado es de dimensión infinita (todo el historial de la trayectoria).
Dónde encaja rough Bergomi en la práctica:
1. Investigación y estudios de calibración. Los académicos e investigadores cuantitativos lo usan para validar la hipótesis de la volatilidad rugosa y para comparar otros modelos. Si su modelo rápido (SVI, SABR) da un skew diferente al que predice rough Bergomi, sabe que algo anda mal.
2. Calibración nocturna. Algunas mesas ejecutan la calibración de rough Bergomi durante la noche como diagnóstico. Les indica si su modelo rápido diurno está pasando por alto la dinámica del skew.
3. Nutrir la intuición. Incluso si nunca ejecuta el modelo en vivo, comprender la volatilidad rugosa cambia cómo piensa sobre las opciones a corto plazo. Cuando el skew a 1 día parece más empinado de lo que predice su modelo, la volatilidad rugosa le dice que eso es normal -- son las trayectorias de varianza rugosa del mercado dejándose ver.
4. Proxies con redes neuronales. Trabajos recientes entrenan redes neuronales para aproximar los precios de rough Bergomi. La red aprende el mapeo de parámetros a precios fuera de línea (usando Monte Carlo lento) y luego evalúa en milisegundos en tiempo de ejecución. Esto podría eventualmente hacer que la volatilidad rugosa sea utilizable en producción.
Rough Bergomi se sitúa en la intersección de las finanzas matemáticas y la econometría. Es uno de los raros casos en que una medición (H ≈ 0.1) dictó directamente un modelo. La mayoría de los modelos se inventan primero y se ajustan después. La volatilidad rugosa se descubrió primero en los datos y se formalizó después. Ese fundamento empírico es la razón por la que la comunidad lo toma en serio, a pesar del costo computacional.
A dónde ir después:
Modelo de Heston -- el caballo de batalla de volatilidad estocástica markoviana, con valoración de Fourier
Parametrización SVI -- el estándar de ajuste rápido de la smile para superficies de volatilidad de crypto
Modelo SABR -- volatilidad estocástica sin reversión a la media
Métodos de interpolación -- todos los métodos de construcción de superficies comparados