Merton Jump-Diffusion desde cero
1/5Black-Scholes no puede manejar caídas bruscas
Black-Scholes asume que el precio se mueve de forma continua — tick a tick, sin teletransportarse. Eso funciona el 99% del tiempo. El otro 1% es lo que lo hace explotar.
Los mercados abren con gaps. Anuncios de resultados, shocks geopolíticos, exploits de protocolos — el precio salta instantáneamente de un nivel a otro sin nada intermedio. Un modelo que solo conoce la difusión literalmente no puede asignar probabilidad a estos eventos.
La solución de Robert Merton (1976): mantener la difusión, pero añadir una segunda fuente de aleatoriedad — un proceso de Poisson que se activa en momentos aleatorios. Cuando se activa, el precio salta una cantidad aleatoria extraída de una distribución lognormal.
dN — contador de Poisson. Normalmente 0. Ocasionalmente 1 (ocurre un salto).
J — multiplicador del salto. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). Si J = 0.9, el precio cae 10% instantáneamente.
λ — número promedio de saltos por año. k = E[J − 1] — compensador para que el drift quede limpio.
Abajo hay tres trayectorias de precio simuladas bajo el modelo de Merton. La mayor parte del tiempo, la trayectoria es difusión suave. Luego aparece una línea vertical — eso es un salto. Suba λ para ver saltos más frecuentes, o haga μJ más negativo para ver un comportamiento tipo crash.
Piense en la difusión como caminar por una habitación. Da pasos pequeños y continuos. Ahora agregue trampillas en el piso. La mayoría de los pasos son normales. Pero de vez en cuando cae por una trampilla y aterriza en un lugar inesperado. Ese es el componente de salto.
Tres parámetros nuevos
Además de la habitual σ (vol de difusión), Merton agrega tres parámetros que juntos controlan la forma del smile de volatilidad implícita. Cada uno cumple una función específica.
λ (lambda) — frecuencia de saltos. Cuántos saltos por año, en promedio. Un λ más alto significa saltos más frecuentes, lo que eleva ambas alas del smile. Si λ = 0, vuelve al mundo de Black-Scholes.
μJ (mu-J) — tamaño promedio del salto. Si es negativo, los saltos son predominantemente a la baja (crashes). Esto inclina el smile — el ala izquierda (puts) se encarece más que el ala derecha (calls). Si es cero, los saltos son simétricos y el smile es aproximadamente simétrico.
σJ (sigma-J) — volatilidad del tamaño del salto. Cuán variable es el tamaño del salto. Incluso si μJ = 0, un σJ alto significa que algunos saltos son enormes y otros diminutos. Esto añade exceso de curtosis — colas más gruesas de lo normal — lo que aumenta la curvatura de las alas.
Juegue con los controles de arriba. Tres experimentos para probar:
1. Ponga λ = 0. El smile se aplana — BS puro.
2. Ponga λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Obtiene un skew bajista pronunciado — el mercado espera crashes más que rallies.
3. Ponga μJ = 0, σJ = 0.30. Ambas alas se elevan simétricamente — colas gruesas puras, sin sesgo direccional.
La fórmula de valoración
La fórmula de valoración de Merton es elegante: el precio de la opción es una suma ponderada de precios de Black-Scholes, uno para cada posible número de saltos. Si puede valorar calls vanilla con BS, puede valorar con Merton.
σn² = σ² + nσJ²/τ — cada salto adicional añade más varianza efectiva.
El peso es una probabilidad de Poisson — la probabilidad de exactamente n eventos en el tiempo τ.
En la práctica, 10–15 términos bastan porque los pesos de Poisson decaen rápido.
La visualización de abajo descompone el precio de Merton en sus primeros seis términos. El panel izquierdo muestra barras para cada término en el strike elegido. El panel derecho muestra cómo se apilan los términos en todos los strikes — puede ver qué términos dominan en el dinero (ATM) frente a las alas.
Observación clave: el término n=0 (cero saltos) es simplemente el precio ordinario de Black-Scholes. Los términos superiores añaden progresivamente más valor a las alas, porque los saltos elevan la volatilidad efectiva y hacen alcanzables los strikes lejanos.
Mueva el control del strike hacia las alas (K=80 o K=120). Observe cómo los términos de n más alto se vuelven proporcionalmente más importantes. En el dinero (ATM), n=0 domina. En las alas, n=1 y n=2 empiezan a hacer un trabajo serio — ahí es donde vive la prima por salto.
El riesgo de salto no se puede cubrir
En Black-Scholes, la cobertura delta elimina todo el riesgo — usted rebalancea continuamente y el riesgo de difusión se cancela. Con saltos, eso se rompe. El salto ocurre instantáneamente; no puede rebalancear lo suficientemente rápido.
Piénselo: la cobertura delta funciona ajustando su posición en el activo subyacente en respuesta a pequeños cambios de precio. Pero un salto no es pequeño — el precio se teletransporta. Para cuando puede reaccionar, el daño (o la ganancia inesperada) ya está hecho. Su cobertura estaba dimensionada para el precio previo al salto, no para el posterior.
Esto significa que el mercado de Merton es incompleto. No puede replicar todo payoff solo con el activo subyacente y el bono. El riesgo de salto es un factor de riesgo aparte que el mercado debe valorar. Por eso las opciones en el mundo real llevan una prima por encima de lo que implicaría la lógica de cobertura delta de BS.
Presione Regenerar varias veces y observe el patrón. En el panel BS (izquierda), el PnL acumulado deambula pero se mantiene relativamente contenido — la cobertura hace su trabajo. En el panel Merton (derecha), el PnL se ve similar la mayor parte del tiempo, pero luego aparece una barra vertical roja (un salto) y el PnL da un bandazo.
Los shocks de PnL inducidos por saltos son asimétricos cuando μJ < 0: los saltos a la baja perjudican al que se cubre (que está corto de gamma) más de lo que los saltos al alza lo benefician. Esta es la razón fundamental de que las puts de crash lleven una prima — alguien debe ser compensado por asumir este riesgo de salto imposible de cubrir.
Merton vs. Heston vs. la realidad
Merton es brillante en los smiles de vencimiento corto. Heston es brillante en los de vencimiento largo. La realidad necesita ambos — por eso el modelo de Bates (Heston + saltos) se convirtió en el caballo de batalla de la industria.
Esta es la distinción clave:
Los saltos dominan en vencimientos cortos. Una opción a 1 semana es demasiado corta para que la volatilidad estocástica se “difunda” de manera significativa. Pero un solo salto aún puede alcanzar un strike lejano. El componente de salto de Merton es el principal impulsor de los precios de las alas de corto plazo.
La vol estocástica domina en vencimientos largos. En 6 meses, la vol misma sube y baja lo suficiente como para generar colas gruesas por sí sola. Los saltos se “diluyen” en el promedio — un salto en 252 días de trading importa menos que un salto en 5 días de trading.
Alas de largo plazo → vol-of-vol → Heston
Ambos → Bates = Heston + saltos de Merton
La consecuencia práctica: si calibra Merton con opciones a 1 mes y luego lo usa para valorar opciones a 1 año, el smile de largo plazo quedará demasiado plano. El componente de salto decae con √τ, pero el smile del mercado se mantiene elevado en plazos largos porque la vol misma es incierta.
A la inversa, Heston por sí solo infravalora las alas de corto plazo. El proceso de vol es demasiado lento para crear la curtosis extrema de corto plazo que el mercado exige. Para eso se necesitan saltos.
Black-Scholes: smile plano. Sin skew, sin alas. El benchmark más simple.
Merton: smile con alas elevadas, especialmente en vencimientos cortos. Skew si μJ < 0. El smile se aplana con el vencimiento a medida que los saltos se diluyen.
Heston: smile por vol-of-vol. El smile persiste en vencimientos largos. Genera skew vía la correlación vol-spot (ρ).
Bates: Heston + saltos de Merton. Ajusta la estructura temporal del smile de plazos cortos a largos. La elección estándar de la industria para renta variable y cripto.
A dónde ir después:
Modelo de Heston — vol estocástica, la otra mitad del panorama
Modelo de Bates — Heston + saltos: el caballo de batalla de la industria
Salto-difusión de Kou — saltos asimétricos con colas doble-exponenciales