Volatilidad local desde cero
1/5La vol implícita es un promedio combinado
La idea más importante en la vol local: la volatilidad implícita que usted observa para un strike y vencimiento dados no es la volatilidad en ese punto. Es un promedio ponderado por trayectoria de todas las vols locales a lo largo del camino.
Piénselo como un viaje por carretera. El límite de velocidad cambia de pueblo en pueblo (esas son las vols locales). Su velocidad promedio durante todo el viaje es su vol implícita. Dos viajes que terminan en el mismo destino pueden tener velocidades promedio distintas porque pasaron por pueblos diferentes.
Abajo, cada trayectoria comienza en S=100 y termina en el mismo precio terminal. Pero cada trayectoria recorre distintas regiones de precio, cada una con su propia vol local. La vol implícita es el promedio de todas estas trayectorias.
Agregue más trayectorias y observe cómo la vol promedio se estabiliza. Cada trayectoria experimenta distintas vols locales según los niveles de precio que visita. El sombreado de fondo muestra el paisaje de vol local — más brillante significa mayor vol.
¿Qué es la vol local?
La volatilidad local es la volatilidad instantánea en un punto específico de (precio, tiempo). Es un paisaje: en cada precio spot y en cada momento del tiempo, hay un valor de vol específico.
El modelo dice: si el activo subyacente está en el precio S en el tiempo t, la vol instantánea es exactamente σ(S, t). Sin aleatoriedad en la vol misma — es una función determinista de dónde está el precio y cuándo.
Pase el cursor sobre el mapa de calor de abajo para ver el valor de vol local en cada punto. Note el patrón: mayor vol en precios spot bajos (lado izquierdo), menor vol en precios spot altos (lado derecho). Esta asimetría genera el skew de vol implícita.
La vol local es como un mapa topográfico de la velocidad del viento. En cada (latitud, longitud) hay una velocidad del viento específica. Un barco que navega de A a B experimenta vientos distintos según su ruta. La velocidad promedio del viento durante el trayecto es como la vol implícita. La velocidad del viento en cada punto individual es la vol local.
Fórmula de Dupire
Dupire demostró que usted puede extraer la superficie de vol local directamente de los precios de opciones observados. La fórmula usa dos derivadas parciales de la función de precio de la opción call.
∂²C/∂K² — la curvatura de los precios de las call a través de los strikes. Esta es la densidad de probabilidad del precio terminal (el butterfly spread). Cuando este término es cero, hay arbitraje de butterfly y la vol local queda indefinida.
La cuadrícula de abajo muestra precios de call de Black-Scholes calculados con una superficie de vol implícita con skew. Haga clic en cualquier celda interior para seleccionarla. Alterne entre las dos vistas de derivadas para ver qué celdas vecinas contribuyen al numerador y al denominador.
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
El numerador (∂C/∂T) mide cuánto valor temporal adicional asigna el mercado a un vencimiento más largo — esta es la información de vol forward. El denominador (∂²C/∂K²) es la densidad de probabilidad neutral al riesgo. Su cociente aísla la varianza instantánea en ese punto (K, T).
De la sonrisa a la superficie
La sonrisa de vol implícita — una curva de IV a través de los strikes — se corresponde con toda una superficie de vol local. Ajustar la forma de la sonrisa cambia el paisaje de vol local.
Use los controles deslizantes de abajo para cambiar la sonrisa de vol implícita: su nivel base, skew (inclinación) y curvatura (convexidad). El panel izquierdo muestra la sonrisa de IV. El panel derecho muestra el mapa de calor de vol local resultante calculado mediante Dupire.
Aspectos clave a notar:
La vol local siempre es más extrema que la vol implícita. Debido a que la vol implícita promedia sobre las trayectorias, suaviza los picos y valles de la vol local. Aumente la curvatura y observe cómo las alas de la vol local se vuelven mucho más pronunciadas.
Agregar skew desplaza la vol local de manera asimétrica. Un skew negativo (típico en mercados de renta variable/cripto) produce mayor vol local a la izquierda (spot bajo) y menor a la derecha.
Por qué importa para las exóticas
Para las opciones vanilla, la vol implícita es suficiente. Para cualquier cosa dependiente de la trayectoria — barreras, asiáticas, lookbacks — usted necesita saber dónde está la vol a lo largo de la trayectoria, no solo el promedio terminal.
Una call down-and-out paga como una call normal a menos que el precio toque una barrera en el camino. La probabilidad de alcanzar la barrera depende de la vol que el precio experimenta cerca del nivel de la barrera. Dos superficies de vol local distintas pueden producir el mismo precio de call vanilla pero precios de barrera radicalmente diferentes.
Este es el argumento central a favor de la vol local: hace que sus precios exóticos sean consistentes con las vanilla. Cualquier opción de barrera o dependiente de la trayectoria valorada bajo vol local tiene garantizado no contradecir los precios vanilla observados. Usted obtiene un modelo unificado en lugar de ajustes ad-hoc.
La advertencia: la vol local predice una dinámica de sonrisa incorrecta (la vol es determinista, por lo que no puede sorprender). En la práctica, las mesas usan vol local estocástica (SLV) — vol local para la precisión de calibración, más un componente estocástico para una dinámica realista.
Adónde ir a continuación:
Parametrización SVI — el modelo usado para construir la superficie implícita que alimenta a Dupire
Modelo SABR — una alternativa de vol estocástica con mejor dinámica
Métodos de Interpolación — todos los métodos comparados