Volatilidad Local

info

Esta página cubre el modelo de volatilidad local de Dupire. Para conocer el contexto sobre cómo encaja en el pipeline de la superficie de volatilidad, consulte Cómo se construyen las superficies. Para una comparación con otros métodos, consulte Métodos de interpolación.

La volatilidad local es la volatilidad instantánea del activo subyacente en un nivel de precio y punto en el tiempo específicos. Es la función $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ que, al introducirse en un modelo de difusión, reproduce exactamente todos los precios observados de opciones europeas.

La idea fue desarrollada de forma independiente por Bruno Dupire (1994) y Derman & Kani (1994). Es el único modelo que ajusta la superficie completa de volatilidad implícita sin ninguna suposición adicional.

Volatilidad implícita vs. volatilidad local

La idea clave: la volatilidad implícita es un promedio combinado de las volatilidades locales a lo largo del camino hasta el vencimiento. La volatilidad local es la volatilidad instantánea, "puntual".

Volatilidad implícita vs. volatilidad local

Smile típico de acciones/cripto. La volatilidad local es mayor y más puntiaguda que la implícita.

La volatilidad local (línea continua) siempre es más puntiaguda que la implícita (discontinua). La volatilidad implícita es un promedio ponderado de las volatilidades locales a lo largo de la trayectoria.

Alterne entre las formas de smile y observe:

• La volatilidad local siempre es más pronunciada. Debido a que la volatilidad implícita promedia a lo largo del camino, suaviza los extremos. La volatilidad local muestra la imagen cruda, sin promediar.
• Un skew implícito más pronunciado = una volatilidad local más dramática. En el caso de skew pronunciado (crisis), la volatilidad local diverge en el ala izquierda. Esto es el modelo diciendo: "Si el spot cae tanto, la volatilidad instantánea tendría que ser muy alta para coincidir con los precios observados de las opciones put".
• La relación es como la de las tasas spot vs. las tasas forward. La volatilidad implícita es la tasa spot (promedio desde ahora hasta el vencimiento). La volatilidad local es la tasa forward (la tasa instantánea en un punto futuro).

Qué significa la volatilidad local

Piense en el precio del activo subyacente evolucionando a través de un paisaje de volatilidades. En cada punto del espacio (precio, tiempo), hay una volatilidad específica. A medida que el activo subyacente deambula, experimenta diferentes volatilidades instantáneas.

Una opción ATM a 30 días con un 50% de volatilidad implícita podría atravesar volatilidades locales que van del 40% al 65% a lo largo de su camino. La volatilidad implícita del 50% es el promedio neutral al riesgo sobre todas esas volatilidades locales, ponderado por el tiempo pasado en cada nivel.

Por eso dos opciones con diferentes strikes pueden tener diferentes volatilidades implícitas aunque dependan del mismo proceso subyacente: atraviesan diferentes partes del paisaje de volatilidad local.

Cuándo usar la volatilidad local

Valoración de opciones exóticas

El caso de uso principal de la volatilidad local. El flujo de trabajo:

1. Observe los precios de las opciones europeas (o las volatilidades implícitas) en el mercado
2. Ajuste una superficie de volatilidad implícita libre de arbitraje (usando SVI, SSVI o similar)
3. Derive la superficie de volatilidad local mediante la fórmula de Dupire
4. Construya un motor numérico de valoración (PDE de diferencias finitas o Monte Carlo) usando la superficie de volatilidad local
5. Valore la exótica evolucionando el activo subyacente a través del paisaje de volatilidad local

La garantía: cualquier exótica valorada bajo volatilidad local es consistente con todos los precios observados de opciones europeas. El precio de su opción barrera no contradice las vanilla, lo cual importa para la cobertura.

Griegas consistentes con la superficie

Las griegas calculadas bajo volatilidad local tienen en cuenta el hecho de que la volatilidad cambia a medida que el spot se mueve. La delta bajo volatilidad local difiere de la delta de Black-Scholes porque el modelo "sabe" que moverse a un nivel de spot diferente significa experimentar una volatilidad local diferente. Esto es conceptualmente similar a lo que Taleb llama "shadow gamma": el cambio adicional en la delta que proviene del cambio de la volatilidad porque el spot se movió.

El problema de la dinámica

La volatilidad local tiene una debilidad bien conocida: predice una dinámica del smile incorrecta.

Bajo volatilidad local, la volatilidad es una función determinista del spot. Una vez que sabe dónde está el spot, sabe exactamente cuál es la volatilidad. No hay "sorpresa" en la volatilidad. Esto significa:

• Cuando el spot cae, la volatilidad local dice que la volatilidad siempre iba a ser así de alta a este precio. El smile se aplana.
• En la práctica, cuando el spot cae, la volatilidad a menudo aumenta más de lo que predice la volatilidad local, y el smile se pronuncia.

El resultado: la volatilidad local infravalora sistemáticamente las opciones que dependen de la forma futura del smile (opciones barrera, opciones forward-starting, cliquets).

Volatilidad local vs. otros modelos

	Volatilidad Local	SVI	SABR
Qué es	Volatilidad instantánea en cada (S, t)	Forma paramétrica del smile	Modelo de volatilidad estocástica
¿Observable?	No (derivada)	No (ajustada)	No (ajustada)
Calibración exacta	Sí (por construcción)	Aproximada	Aproximada
Dinámica del smile	Incorrecta (determinista)	No especificada	Mejor (estocástica)
Valoración de exóticas	Sí (uso principal)	No	Limitada
Velocidad	Lenta (PDE/MC)	Rápida	Rápida (fórmula)
Mejor para	Barreras, asiáticas, exóticas	Valoración vanilla, riesgo	Swaptions, vanilla de FX

Conexión con otros modelos

De volatilidad implícita a volatilidad local: la fórmula de Dupire. Requiere como entrada una superficie implícita libre de arbitraje.

De volatilidad local a volatilidad implícita: ejecute una PDE hacia adelante bajo la superficie de volatilidad local, valore las europeas e invierta para obtener las volatilidades implícitas. Esto hace un ciclo de ida y vuelta exacto por construcción.

SABR y volatilidad local: el parámetro $\beta$ de SABR controla la columna vertebral de la volatilidad local ($\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$), mientras que $\nu$ añade una capa estocástica encima. SABR puede verse como una aproximación paramétrica a la volatilidad local con dinámica adicional.

SVI y volatilidad local: SVI le da la superficie implícita. Dupire luego le da la volatilidad local. La cadena: cotizaciones de mercado -> ajuste SVI -> superficie implícita -> Dupire -> volatilidad local -> valorador de exóticas.

Construyendo intuición matemática

Aprenda volatilidad local desde ceroLección interactiva · cubre la fórmula de Dupire

La lección interactiva anterior cubre el modelo de volatilidad local de Dupire desde los primeros principios: por qué la volatilidad implícita es un promedio ponderado por el camino de las volatilidades locales, cómo la fórmula de Dupire extrae la volatilidad local de los precios observados, la relación entre el smile de volatilidad implícita y la superficie de volatilidad local, y por qué la volatilidad local importa para valorar exóticas dependientes del camino.

Implementaciones de código abierto

Repo	Por qué inspeccionarlo
QuantLib	Volatilidad local de Dupire con motor de valoración FD
OpenGamma Strata	Construcción de la superficie de volatilidad local a partir de datos de mercado
RustQuant	Valoración de volatilidad local en Rust

---

Vea también:

• Parametrización SVI - El modelo usado para construir la superficie implícita
• Modelo SABR - Una alternativa de volatilidad estocástica
• Métodos de interpolación - Todos los métodos comparados
• Cómo se construyen las superficies - El pipeline completo