Difusión con saltos de Kou desde cero
1/5Los saltos de Merton son demasiado simétricos
Merton utiliza saltos lognormales. La distribución del tamaño de los saltos es una única campana de Gauss, centrada en algún punto. Los saltos al alza y a la baja provienen de la misma familia. Eso es un problema.
Las caídas reales son más bruscas que las subidas. Un depeg de una stablecoin no es la imagen especular de un short squeeze. El gap del -20% ocurre en un solo bloque. El rally del +20% tarda una semana. Necesita un modelo donde la cola izquierda y la cola derecha se controlen por separado.
Kou (2002) soluciona esto reemplazando la distribución lognormal de saltos por una doble exponencial. Los saltos hacia arriba decaen a una tasa. Los saltos hacia abajo decaen a una tasa diferente. Dos perillas separadas para dos colas separadas.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
En Kou: el tamaño del salto Y = ln(J) sigue una doble exponencial con tasas de decaimiento separadas para valores positivos y negativos.
La consecuencia práctica: en Merton, cuando usted inclina el ala izquierda del smile (haciendo μJ más negativo), también arrastra el ala derecha. La distribución normal es simétrica respecto de su media. Kou desacopla las alas por completo.
La doble exponencial
El tamaño del salto Y tiene una densidad formada por dos mitades exponenciales unidas en cero. Cada mitad decae a su propia tasa. Esta es la innovación central.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ controla el decaimiento de los saltos hacia abajo. Un η₂ pequeño significa que los saltos hacia abajo pueden ser grandes (cola izquierda gruesa). Salto medio hacia abajo = 1/η₂.
p es la probabilidad de que un salto dado sea hacia arriba.
Deslice los parámetros de abajo y observe cómo cambia la densidad. El experimento clave: fije η₁ mucho mayor que η₂. La cola derecha (saltos hacia arriba) se vuelve delgada y concentrada cerca de cero, mientras que la cola izquierda (saltos hacia abajo) se extiende mucho. Esa es la forma del riesgo de crash.
Tres experimentos para probar:
1. Fije η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. La densidad es simétrica. Ambas colas son idénticas. Esto es equivalente en espíritu a Merton con salto de media cero.
2. Fije η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Cola izquierda gruesa, cola derecha delgada, la mayoría de los saltos van hacia abajo. Régimen de crash clásico.
3. Suba p hacia 0.9. La mayoría de los saltos van hacia arriba, pero los saltos hacia abajo que sí ocurren siguen estando gobernados por η₂ de forma independiente.
Por qué importan los saltos asimétricos
La proporción de η₁ a η₂ y el parámetro p en conjunto controlan el skew del smile de volatilidad implícita. Fundamentalmente, controlan cada ala de forma independiente.
Considere un token crypto. Un crash por depeg es agudo y profundo — eso significa un η₂ pequeño (cola izquierda gruesa). La acción normal del precio al alza es incremental — eso significa un η₁ grande (cola derecha delgada). El smile resultante tiene un ala put pronunciada y un ala call suave. Exactamente lo que se ve en el mercado.
En el explorador de abajo, observe cómo cambiar η₂ por sí solo inclina más el ala izquierda sin mover el ala derecha. Luego intente cambiar η₁ — inclina el ala derecha de forma independiente. Esta es la ventaja práctica de Kou: usted ajusta cada ala al mercado por separado.
Por qué p importa para el skew: si p = 0.3 (la mayoría de los saltos son a la baja), el ala izquierda se infla porque las puts OTM están viendo un flujo constante de riesgo de saltos a la baja. El ala derecha está más tranquila — allí caen menos saltos.
Por qué la proporción η importa para el skew: incluso con p = 0.5 (igual probabilidad de salto), si η₂ es mucho más pequeño que η₁, los saltos a la baja son en promedio mucho más grandes. Eso eleva el ala put porque el mismo número de saltos a la baja cubre más terreno por salto.
Ventaja de la forma cerrada
La distribución exponencial tiene una propiedad especial: es sin memoria. Si usted sabe que un salto excede alguna barrera x, el excedente (salto − x) tiene exactamente la misma distribución que un salto nuevo. Esto es lo que le da a Kou precios de barrera en forma cerrada.
Piense en lo que necesita una opción barrera: usted necesita conocer la distribución de dónde aterriza el precio después de que cruza la barrera. Con saltos gaussianos (Merton), la distribución del excedente es un desastre — depende de cuánto se pasó de la barrera. Con saltos exponenciales, el excedente es sin memoria: la distribución condicional dado que cruzó la barrera es la misma que la distribución incondicional. Esto hace que las matemáticas sean tratables.
El resultado: Kou (2004) derivó soluciones en forma cerrada para barreras knock-in/knock-out, opciones lookback y americanas perpetuas. Merton no tiene tales fórmulas. Si valora exóticas y necesita griegas analíticas, Kou gana.
El panel izquierdo muestra la densidad exponencial completa con un umbral x marcado. La región sombreada es la probabilidad de exceder x. El panel derecho muestra la densidad condicional del exceso (Y − x), given Y > x. Deslice el umbral: la densidad condicional siempre tiene la misma forma que la original. Esa es la propiedad de falta de memoria.
Mueva η y observe cómo ambos paneles se reescalan de forma idéntica. La forma del exceso nunca depende de dónde fije el umbral. Para el pricing de barreras, esto significa que la distribución del excedente en la barrera se conoce analíticamente — sin necesidad de simulación.
Kou vs Merton vs Heston
Cada modelo tiene su papel. Entender dónde encaja Kou respecto a Merton y Heston es la pieza final.
Kou: saltos asimétricos, control independiente de las alas, exóticas en forma cerrada. Mejor para mercados con asimetría de crash pronunciada (crypto, acciones de un solo nombre) y cuando usted necesita precios analíticos de barrera o lookback.
Merton: más simple, saltos simétricos. Menos parámetros. Suficientemente bueno cuando el smile es aproximadamente simétrico o cuando usted solo valora vanillas. El punto de partida de la industria para los modelos de saltos.
Heston: vol estocástica, sin saltos. Genera skew mediante la correlación vol-spot (ρ). Domina en vencimientos largos donde la vol-of-vol impulsa la estructura temporal. No puede producir la inclinación del ala de corto plazo que crean los saltos.
El gráfico de arriba superpone los smiles de Kou y Merton con la misma varianza total de saltos. Ambos modelos añaden la misma cantidad de riesgo de saltos en agregado, pero Kou asigna más a la cola izquierda. Observe cómo el ala izquierda de Kou es más gruesa (ala put más pronunciada) mientras que su ala derecha es más delgada. Merton reparte el riesgo de forma más uniforme.
Black-Scholes: smile plano. Sin skew, sin alas.
Merton: smile con alas. Una distribución de saltos simétrica significa que ambas alas se mueven juntas. Bueno para opciones vanilla de corto plazo.
Kou: smile con alas independientes. Distribución de saltos asimétrica. Barreras y lookbacks en forma cerrada. Mejor ajuste para cripto.
Heston: smile a partir de vol estocástica. Persiste en vencimientos largos. Sin saltos, por lo que las alas de corto plazo son demasiado planas.
Bates: Heston + saltos de Merton. El caballo de batalla. Para las aplicaciones más exigentes, reemplace el componente de saltos de Merton con saltos doble exponenciales al estilo Kou.
Dónde continuar:
Difusión con saltos de Merton — el predecesor de saltos simétricos
Variance Gamma — un modelo de saltos puros sin difusión alguna
Modelo de Heston — vol estocástica, sin saltos
Modelo de Bates — Heston + saltos: el caballo de batalla de la industria