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Métodos de Interpolación para Superficies de Volatilidad

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Esta es una página complementaria de Cómo se Construyen las Superficies de Volatilidad. Comience allí para entender el contexto de por qué la interpolación es importante.

La superficie de volatilidad tiene huecos. La interpolación los rellena. La elección del método determina si la superficie resultante es suave, libre de arbitraje y estable. Esta página compara los enfoques principales.

Métodos de Interpolación Comparados

45%55%65%75%Vol Implícita80%90%100%110%120%Strike (% del spot)LinealSpline cúbicoSVI
Los puntos blancos son las únicas cotizaciones reales del mercado. Todo lo que está en el medio es estimado. Haz clic en cada método para ver sus fortalezas y debilidades.

Qué Puede Salir Mal​

Antes de profundizar en cada método, vea los problemas por sí mismo. Las mismas 7 observaciones de mercado, tres métodos de interpolación diferentes. Observe lo que sucede en las alas y en los puntos de datos.

Qué sale mal: fallos de interpolación

Las mismas 7 observaciones de mercado, tres métodos de interpolación distintos. Observe qué ocurre en las alas.

Curvas polinómicas suaves. Pueden oscilar y sobrepasarse en las alas.
40%50%60%70%80%extrapolaciónextrapolaciónSobreimpulso-0.3-0.2-0.1ATM0.10.20.3Log-moneyness (k)Vol implícita (%)

Los puntos blancos son las únicas observaciones reales. Haga clic en "Comparar todo" para superponer los tres métodos. Observe cómo el spline se sobrepasa en el ala izquierda mientras SVI se mantiene acotado.

Métodos No Paramétricos​

Estos métodos ajustan curvas a través de los puntos de datos sin asumir una forma funcional. Son rápidos y simples, pero no ofrecen garantías estructurales.

Interpolación lineal​

Trazar líneas rectas entre puntos de datos adyacentes.

Ventajas:

  • Trivial de implementar
  • Sin ajuste ni optimización
  • Determinista: las mismas entradas siempre producen las mismas salidas

Desventajas:

  • Crea esquinas pronunciadas en cada punto de datos. Estas esquinas producen primeras derivadas discontinuas, lo que significa que las griegas (especialmente gamma) saltan abruptamente en los strikes observados.
  • No hay garantía contra el arbitraje de butterfly. Una línea recta entre dos puntos puede caer por debajo de donde debería estar una sonrisa convexa.
  • La extrapolación es pura especulación (simplemente extiende la pendiente del último segmento).

Úselo para: Estimaciones rápidas, verificaciones de coherencia, depuración. No para pricing en producción.

Interpolación con spline cúbico​

Ajusta polinomios cúbicos por tramos entre los puntos de datos, con la restricción de que la primera y segunda derivadas coincidan en cada unión. El resultado es una curva C2C^2-suave (curvatura continua).

El nombre proviene de las splines físicas de dibujo técnico: tiras flexibles de madera que los delineantes curvaban entre pines para trazar curvas suaves.

Ventajas:

  • Curva suave que pasa por todos los puntos de datos
  • Sin estimación de parámetros (el spline está determinado por los datos y las condiciones de frontera)
  • Rápido de calcular

Desventajas:

  • Fenómeno de Runge: En los bordes del dominio de interpolación, el polinomio puede dispararse descontroladamente. Para superficies de volatilidad, esto significa IVs en las alas que se disparan o se vuelven negativas.
  • Oscilación: Entre puntos de datos, el polinomio cúbico puede oscilar por encima o por debajo de lo que produciría una sonrisa bien comportada, creando hundimientos cóncavos (arbitraje de butterfly).
  • Sensibilidad a valores atípicos: Un punto de datos malo (cotización obsoleta, error de tipeo) distorsiona toda la curva porque las restricciones de suavidad propagan el error.
  • Sin control sobre el comportamiento de la extrapolación.

Úselo para: Visualización, trabajo académico o como estimación inicial antes de un ajuste paramétrico. No para pricing o riesgo en producción.

Métodos Paramétricos​

Estos métodos asumen una forma funcional para la sonrisa y ajustan sus parámetros a los datos. Intercambian la interpolación exacta por control estructural.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)​

El estándar de la industria para superficies de volatilidad de cripto y equities. Cinco parámetros por rebanada de vencimiento.

w(k)=a+b(ρ(k−m)+(k−m)2+σ2)w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)

Vea la referencia completa: Parametrización SVI

Por qué domina: SVI es el punto óptimo entre flexibilidad y parsimonia. Cinco parámetros pueden ajustar casi cualquier forma de sonrisa observada, mientras que restricciones simples de desigualdad garantizan la ausencia de arbitraje de butterfly. Las alas se aproximan a asíntotas lineales, por lo que la extrapolación está acotada y es razonable.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)​

Un modelo de volatilidad estocástica que deriva la sonrisa a partir de supuestos sobre cómo evoluciona la volatilidad. Cuatro parámetros: α\alpha (nivel de volatilidad), β\beta (exponente CEV), ρ\rho (correlación spot-vol), ν\nu (vol-of-vol).

Vea la referencia completa: Modelo SABR

Por qué existe: SABR captura la dinámica de la sonrisa, no solo la forma estática. Le dice cómo debería moverse la sonrisa cuando se mueve el activo subyacente (sticky delta por defecto). Esto lo hace natural para swaptions de tasas de interés, donde la dinámica de la sonrisa importa para la cobertura.

Volatilidad Local (Dupire)​

No es un método de ajuste en el sentido habitual. La volatilidad local deriva una superficie de volatilidad instantánea a partir de la superficie de volatilidad implícita observada. Responde a la pregunta: "¿Cuál debe ser la volatilidad instantánea en cada combinación (spot, tiempo) para reproducir exactamente estos precios de opciones?"

Vea la referencia completa: Volatilidad Local

Por qué existe: La volatilidad local es el único modelo libre de arbitraje que coincide exactamente con todos los precios de opciones observados. Es el puente entre la volatilidad implícita y un motor de pricing capaz de manejar payoffs dependientes de la trayectoria.

SSVI (Surface SVI)​

Una extensión de SVI que modela toda la superficie de manera conjunta, no rebanada por rebanada. SSVI garantiza por construcción la ausencia de arbitraje de calendario: la varianza total está garantizada a aumentar con el vencimiento en cada strike.

w(k,θt)=θt2(1+ρ φ(θt) k+(φ(θt) k+ρ)2+(1−ρ2))w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)

Donde θt\theta_t es la varianza total ATM en el tiempo tt y φ(θt)\varphi(\theta_t) controla cómo evoluciona el skew con el vencimiento.

Compromiso: Menos parámetros libres que el SVI por rebanada (la forma de la sonrisa está vinculada entre vencimientos), por lo que el ajuste puede ser ligeramente peor en rebanadas individuales. Pero nunca necesitará correcciones posteriores por arbitraje de calendario.

Tabla Comparativa​

Método
Parámetros
¿Libre de Arbitraje?
Extrapolación
Velocidad
Mejor Para
Lineal
0
No
No acotada
Instantánea
Depuración
Spline Cúbico
~12 (implícitos)
No
Oscila
Rápida
Visualización
SVI
5 por rebanada
Sí (con restricciones)
Lineal acotada
Rápida
Cripto / equities
SABR
4
Mayormente
Razonable
Media
Tasas / swaptions
Vol Local
Grilla completa
Por construcción
N/A (derivada)
Lenta
Pricing de exóticos
SSVI
~6 (superficie)
Sí (también calendario)
Acotada
Rápida
Consistencia de toda la superficie

Cómo elegir​

  • Para pricing en producción de cripto/equities: SVI o SSVI. La industria ha convergido aquí por buenas razones.
  • Para opciones de tasas de interés: SABR. Captura la dinámica de la sonrisa que importa para la cobertura de swaptions.
  • Para pricing de derivados exóticos: Volatilidad local (o un híbrido de volatilidad local estocástica). Necesita la superficie completa, no solo rebanadas.
  • Para análisis rápido o visualización: El spline cúbico está bien siempre que no opere basándose en él.
  • Para nada: Interpolación lineal en producción. En serio.

Explorador de Ecuaciones​

Todos los métodos de interpolación trabajan con varianza total y log-moneyness. Use esta calculadora para convertir entre representaciones.

Explorador de ecuaciones

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
La volatilidad implícita
días
Días calendario hasta el vencimiento
Varianza total (w)
0.022225
Varianza anualizada (σ²)
0.2704
IV recalculada (ida y vuelta)
52.00%
La varianza total es lo que ajustan SVI y otros modelos. Escala con el tiempo, por lo que una vol del 50% a 30 días tiene menos varianza total que una vol del 50% a 90 días.

Vea también:

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