Heston desde cero
1/5La varianza está viva
Black-Scholes trata la volatilidad como un número fijo estampado en el contrato. Nunca cambia. El mundo obviamente no funciona así. Heston lo corrige dándole a la varianza su propia ecuación diferencial estocástica.
En Black-Scholes, el precio spot sigue una única SDE con una constante σ. Cada opción, cada strike, cada vencimiento usa la misma volatilidad. El modelo es internamente consistente pero incorrecto: el mercado cotiza una σ diferente para cada strike. Eso es la sonrisa, y BS no puede producirla.
Piense en el spot como un coche y en la varianza como la superficie de la carretera. En BS, la carretera es asfalto perfectamente liso en todas partes. En Heston, la superficie misma cambia: a veces grava, a veces hielo, a veces asfalto nuevo. El coche reacciona a la superficie sobre la que está. Cuanto más irregular es la carretera, más agitado es el trayecto.
Heston dice: el spot se mueve como en BS pero con una variable √v en lugar de una constante σ. Y la varianza sigue su propio proceso de raíz cuadrada con reversión a la media:
Segunda línea: la varianza tiene su propia deriva (atraída hacia θ) y su propio ruido (escalado por σ).
Tercera línea: los dos movimientos brownianos están correlacionados. Este es el motor detrás del skew.
Esa segunda ecuación es un proceso CIR (Cox-Ingersoll-Ross) -- el mismo proceso usado para las tasas de interés. Tiene un piso incorporado: el √término de difusión v se reduce a medida que v se acerca a cero, lo que evita que la varianza se vuelva negativa (bajo las condiciones adecuadas).
El resultado: la vol puede dispararse, desvanecerse, agruparse y moverse junto con el spot. Todos esos patrones son visibles en los mercados reales. BS no puede reproducir ninguno. Heston sí.
Los cinco parámetros
Heston tiene exactamente cinco parámetros libres. Cada uno cuenta una historia distinta sobre el comportamiento del mercado. Aprenda a leerlos como un panel de control.
κ (kappa) -- velocidad de reversión a la media. Con cuánta fuerza la varianza es atraída de vuelta a su nivel de largo plazo. Un valor alto de κ significa que los picos de vol son efímeros: el proceso regresa rápidamente. Un valor bajo de κ significa que los regímenes de vol persisten. En crypto,κ tiende a ser bajo -- la vol permanece elevada después de un shock.
θ (theta) -- varianza de largo plazo. El nivel hacia el que la varianza gravita con el tiempo. Si toma √θ, obtiene aproximadamente la vol ATM de largo plazo. Para BTC, eso suele estar en torno al 50-70% anualizado.
σ (sigma) -- vol-of-vol. Cuán errático es el propio proceso de varianza. Cuando σ = 0, no hay ninguna sonrisa -- vuelve a un mundo de vol determinista. A medida que σ aumenta, ambas alas de la sonrisa se elevan. Piénselo así: más aleatoriedad en la varianza = colas más gruesas = opciones OTM más caras.
ρ (rho) -- correlación spot-vol. El vínculo direccional entre los movimientos del spot y los movimientos de la vol. Un valor negativo de ρ significa spot baja, vol sube. Este es el parámetro más importante para el skew. Lo cubrimos en profundidad en la siguiente sección.
v₀ -- varianza inicial. Dónde está la varianza ahora mismo. Si v₀ está por encima de θ, las opciones de corto plazo valoran el estrés actual mientras que las de largo plazo se inclinan de vuelta hacia lo normal. Después de un pico de vol, v₀ >θ y la estructura temporal se invierte.
Arrastre los deslizadores de arriba. Concéntrese en un parámetro a la vez. La mayor lección: ρ inclina la sonrisa hacia la izquierda o la derecha. σ la ensancha. κ/θ/v₀ fijan el nivel y la estructura temporal.
Cómo la correlación crea el skew
Esta es la idea matemática central de Heston. Un ρ negativo significa que cuando el spot cae, la varianza tiende a subir. Esa única relación produce toda la sonrisa sesgada a la izquierda que se ve en los mercados de renta variable y cripto.
Este es el mecanismo, paso a paso:
1. El spot cae (dW₁ es negativo).
2. Debido a que ρ < 0, dW₂ tiende a ser positivo.
3. Un dW positivo₂ empuja la varianza hacia arriba.
4. Una mayor varianza significa que el activo subyacente ahora es más volátil.
5. Las opciones put OTM (strikes bajos) tienen más probabilidad de terminar in the money.
6. El mercado las valora más alto. El ala izquierda de la sonrisa se eleva.
Lo inverso también se cumple: spot al alza, vol a la baja. Las opciones del lado call pierden parte de la prima de volatilidad. Por eso el ala derecha suele ser más plana que la izquierda.
Haga clic entre los tres presets de arriba. La diferencia es dramática:
ρ = −0.7: Skew fuerte a la izquierda. Así es como se ven los mercados de renta variable y de cripto. La protección a la baja es cara porque la volatilidad se dispara cuando el mercado cae.
ρ = 0: Sonrisa simétrica. Sin preferencia direccional entre el spot y la volatilidad. Obtiene una curvatura pura del vol-of-vol, pero sin inclinación.
ρ = +0.3: Skew a la derecha. Las opciones al alza son relativamente caras. Esto es raro en la práctica, pero puede ocurrir en mercados de materias primas donde los shocks de oferta impulsan al alza tanto el precio como la incertidumbre juntos.
ρ se corresponde directamente con la vanna exposición. La vanna es la sensibilidad de la delta a los cambios en la volatilidad. Cuandoρ es fuertemente negativo, las opciones put OTM tienen una vanna positiva grande: su delta se vuelve más negativa a medida que sube la volatilidad. Por eso las posiciones cortas en put se vuelven más peligrosas en una caída: están cortas en vanna.
La función característica
La mayoría de los modelos de vol estocástica requieren simulación de Monte Carlo para valorar. Heston tiene un truco: puede valorar opciones mediante inversión de Fourier de una función característica conocida. No hace falta simulación.
La fórmula estándar del precio de una opción call en Black-Scholes tiene la forma C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston tiene una estructura análoga:
El objeto clave es la función característica φ(u). Codifica todo sobre la distribución de probabilidad del precio log-spot al vencimiento. Piénsela como la huella dactilar de la distribución en el espacio de frecuencias.
¿Por qué funciona esto? Tres pasos:
1. Función generadora de momentos. Debido a que la SDE de Heston es afín (lineal en las variables de estado), su función generadora de momentos puede resolverse en forma cerrada. Este es el accidente matemático que hace especial a Heston.
2. Función característica = MGF en el eje imaginario. La función característica es φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Una vez que tiene la MGF, tiene φ.
3. Invierta para la densidad, integre para el precio. La inversión de Fourier estándar recupera la densidad neutral al riesgo a partir de φ. Integrar esa densidad contra el payoff le da el precio de la opción. La integral es unidimensional y converge en microsegundos.
El resultado: una sonrisa completa calculada en milisegundos, no en minutos. Eso hace viable la calibración. Puede ajustar cinco parámetros a una sonrisa observada evaluando esta integral miles de veces dentro de un optimizador.
Antes de Heston (1993), los modelos de volatilidad estocástica existían pero eran impracticables -- había que simular trayectorias para valorar una sola opción. La función característica de Heston hizo que la volatilidad estocástica fuera utilizable en una mesa de trading. Todos los modelos descendientes (Bates, doble Heston, rough Bergomi) intentan preservar o aproximar esta estructura de valoración de Fourier.
Cuando Heston falla
Heston es elegante, pero tiene límites reales. El proceso de varianza puede tocar cero, la forma de la sonrisa es demasiado rígida para cripto, y el ajuste de cinco parámetros es un campo minado de óptimos locales.
La condición de Feller. Para que la varianza se mantenga estrictamente positiva, necesita:
En la práctica, los parámetros de Heston ajustados violan con frecuencia la condición de Feller. El mercado quiere más vol-of-vol (σ) de lo que la condición de Feller permite. Cuando se viola, el proceso de varianza puede tocar cero y debe ser "reflejado" o "absorbido", lo que crea dolores de cabeza numéricos y hace que el modelo sea menos confiable en las alas.
Aumente σ y observe cómo se rompe la condición de Feller. Las trayectorias rojas tocan cero. En un motor de valoración real, esos toques en cero requieren un tratamiento especial que ralentiza los cálculos e introduce errores sutiles.
Las sonrisas de cripto son demasiado pronunciadas. Las opciones de cripto de corto plazo a menudo tienen skews extremadamente pronunciados y alas amplias. El proceso de varianza CIR de Heston es demasiado suave para capturar esto. El comportamiento de las alas del modelo se aproxima a una pendiente constante, pero las alas reales de cripto son más pronunciadas que eso. Por eso las mesas de cripto usan SVI o SSVI para el ajuste de la superficie y trate a Heston como una herramienta conceptual, no como un motor de ajuste de producción.
El ajuste de cinco parámetros es inestable. Diferentes combinaciones de parámetros pueden producir smiles casi idénticos. El optimizador tiene múltiples mínimos locales. Las calibraciones de un día a otro pueden saltar entre conjuntos de parámetros muy distintos mientras producen precios similares. Esto hace que la cobertura sea poco confiable porque las griegas dependen del conjunto de parámetros en el que haya caído.
Extensiones que solucionan estos problemas:
Bates = Heston + saltos. Agregar un componente de saltos al proceso del spot le da alas de corto plazo más gruesas sin necesidad de valores σ poco razonables. La intensidad y el tamaño del salto agregan parámetros adicionales, pero la función característica todavía tiene una forma semicerrada.
Volatilidad local estocástica (SLV). Combina la varianza estocástica al estilo Heston con una capa de volatilidad local. Obtiene una calibración exacta a la superficie observada (de la volatilidad local) más una dinámica realista (del componente estocástico). Esto es lo que muchas mesas de producción realmente utilizan.
Rough Bergomi. Reemplaza el suave proceso de varianza CIR por un movimiento browniano fraccionario (parámetro de Hurst H cercano a 0.1). Las trayectorias de varianza se vuelven ásperas e irregulares, ajustándose mucho mejor al comportamiento observado de la volatilidad. El costo: no hay función característica de forma cerrada.
Adónde ir después:
Parametrización SVI -- el estándar de ajuste de la sonrisa para superficies de volatilidad cripto
Modelo SABR -- vol estocástica sin reversión a la media, ajuste más simple
Rough Bergomi -- vol estocástica fraccionaria, trayectorias rugosas
Métodos de interpolación -- comparación de todos los métodos