Difusión desplazada desde cero
1/5Desplace el origen y obtenga un smile
Black-Scholes asume que el precio spot difunde de forma lognormal desde su nivel actual. La difusión desplazada cambia una sola cosa: desplaza el origen. La difusión sigue siendo lognormal, pero el eje sobre el que vive se ha movido.
La SDE es de lo más simple:
Ese es todo el modelo. Un parámetro extra, d, añadido al BS estándar. El coeficiente de difusión es proporcional a (S + d) en lugar de solo S. Ese desplazamiento rompe la simetría del smile lognormal y crea skew.
¿Por qué desplazar el origen produce skew? Porque la volatilidad porcentual de la variable desplazada es σ, pero la volatilidad porcentual del propio S varía con el nivel. Cuando S es bajo, S + d es relativamente grande frente a S, por lo que la vol efectiva en términos porcentuales es mayor. Cuando S es alto, el desplazamiento d importa menos y se acerca al caso BS.
Imagine que mide desde un punto cero diferente. En lugar de medir desde 0, mide desde −d. El activo subyacente no ha cambiado, pero la vara de medir sí. Ese cambio de marco de referencia basta para producir un smile inclinado.
El parámetro de desplazamiento
El desplazamiento d es el único control disponible. Determina la dirección y la magnitud del skew. Entender qué hace es entender todo el modelo.
d > 0 (desplazamiento positivo): El origen se desplaza a la derecha. Para una σ dada, los precios bajos experimentan una vol efectiva mayor (porque S + d es grande en relación con S), mientras que los precios altos ven una menor. Resultado: la curva de volatilidad implícita desciende de izquierda a derecha. Esto es skew negativo, la misma dirección que en los mercados de renta variable y cripto.
d < 0 (desplazamiento negativo): El origen se desplaza a la izquierda. Ahora los precios altos ven proporcionalmente más vol. Resultado: skew positivo. Es poco común, pero puede modelar mercados donde la vol sube con el precio (algunas materias primas, por ejemplo).
d = 0: Sin desplazamiento. Está de vuelta en Black-Scholes. Smile plano.
Arrastre el deslizador de arriba. Observe cómo el smile se inclina progresivamente a medida que aumenta d. No hay curvatura en el smile de la difusión desplazada: es casi lineal en las alas. Esta es la limitación fundamental: DD puede producir inclinación, pero no la forma de U que se ve en los mercados reales.
Difusión desplazada = Black-Scholes desplazado
Esta es la idea operativa que hace tan útil a DD: no necesita una nueva fórmula de valoración. Ejecuta el Black-Scholes estándar con inputs desplazados. Reemplace S por (S + d) y K por (K + d). Listo.
La lógica es sencilla. Defina S̃ = S + d. Entonces la SDE se convierte en dS̃ = σ·S̃·dW, que es simplemente un movimiento browniano geométrico para la variable desplazada. El BS estándar se aplica a S̃ con strike K̃ = K + d.
Por eso las mesas de tasas adoptaron DD tan rápidamente en la era de tasas negativas. No necesitaban software nuevo. Añadieron un desplazamiento a sus inputs y mantuvieron en marcha toda su infraestructura Black-Scholes. El desplazamiento solía calibrarse una vez al día a partir de la vol ATM y un punto adicional.
Las griegas también se desplazan. La delta es la delta BS de la opción desplazada. La gamma es la gamma BS. La vega es la vega BS. La única sutileza es que hay que ajustar las sensibilidades de vuelta a las coordenadas originales (sin desplazar) al calcular las coberturas.
Conexión con CEV y SABR
La difusión desplazada es la versión linealizada del modelo CEV. SABR con β = 1 y un parámetro de desplazamiento es aproximadamente difusión desplazada. Entender esta conexión le dice exactamente dónde se sitúa DD en la jerarquía de modelos.
CEV (elasticidad constante de la varianza) usa dS = σ·Sᵝ·dW donde β es la elasticidad. Cuando β = 1, es BS. Cuando β < 1, la volatilidad es mayor con S bajo y menor con S alto —el mismo comportamiento cualitativo que DD.
La conexión: una expansión de Taylor de primer orden de Sᵝ alrededor de S = F da aproximadamente (S + d) para un d particular que depende de β y F. Así que DD es la aproximación linealizada de CEV alrededor del forward. Producen sonrisas casi idénticas cerca de ATM y divergen en las colas lejanas.
Observe cómo las dos curvas se superponen cerca de ATM pero divergen en las alas. DD produce un smile casi lineal en el strike. CEV produce curvatura porque su columna de ley de potencias se curva. Para la mayoría de los usos prácticos a pocos strikes de ATM, son intercambiables.
Conexión con SABR: El modelo SABR con β = 1 es SABR lognormal. Añadir un desplazamiento al forward (SABR desplazado) da SABR(β = 1) sobre la variable desplazada. En el límite de vol-de-vol cero (ν = 0), esto colapsa exactamente a la difusión desplazada. Así, DD es un caso degenerado de SABR desplazado: el miembro más simple posible de esa familia.
Por eso se dice que DD es la forma más simple de añadir skew a BS. Obtiene un parámetro extra, una dirección de inclinación y compatibilidad exacta con la infraestructura BS existente. Si necesita curvatura, alas o dinámica estocástica, pasa a CEV, SABR o Heston.
Cuándo es suficiente
DD es una extensión de Black-Scholes con un solo parámetro. Esa es a la vez su fortaleza y su limitación. Sepa cuándo usarlo y cuándo seguir adelante.
Use DD cuando:
1. Necesita un ajuste rápido de skew y no requiere un modelo completo. Cotizar un skew aproximado en una conversación de mesa, verificar la coherencia de un modelo más complejo o valorar un libro de vanillas donde la inclinación importa más que las alas.
2. Su activo subyacente puede llegar a cero o a negativo (tasas, spreads). El desplazamiento mantiene positiva la variable desplazada incluso cuando la original cruza cero. Este es el caso de uso canónico: las mesas de tasas en la era de tasas negativas vivieron del lognormal desplazado.
3. Quiere mantener intacta la infraestructura BS existente. Sin nuevos métodos numéricos, sin Monte Carlo, sin inversión de Fourier. Solo desplace los inputs.
Vaya más allá de DD cuando:
1. Necesita curvatura en el smile. DD produce un skew casi lineal. Los mercados reales tienen smiles en forma de U con convexidad en ambas alas. DD no puede capturarlo.
2. Necesita un comportamiento dinámico del smile. DD es un modelo estático: el desplazamiento es fijo. No dice nada sobre cómo se mueve el smile cuando se mueve el spot. Para cobertura dinámica necesita SABR, Heston o SLV.
3. Está valorando exóticas. Las opciones dependientes de la trayectoria necesitan un modelo que describa la dinámica de la vol, no solo una instantánea. DD no tiene dinámica de vol.
Para cripto en particular, DD es demasiado simple. Los smiles de cripto son empinados, curvos y dinámicos. DD puede darle una primera inclinación aproximada, pero cualquier superficie en producción usará SVI, SABR o un modelo más sofisticado.
Piense en la jerarquía de modelos como una escalera: Black-Scholes (smile plano) → difusión desplazada (smile inclinado) → CEV/SABR (smile curvo con dinámica) → Heston/SLV (vol estocástica con estructura rica). Cada paso añade complejidad, pero también poder explicativo. DD es el primer peldaño por encima de BS. Vale la pena conocerlo aunque nunca lo use en producción, porque enseña que el skew trata, en el fondo, de cómo escala la volatilidad con el nivel del activo subyacente.
Adónde ir después:
Modelo CEV -- el primo no lineal de DD, con smiles curvos
Modelo SABR -- vol estocástica sobre una columna base, el estándar en producción
Parametrización SVI -- ajuste directo del smile, el estándar en cripto