CEV desde cero
1/5Un solo parámetro controla toda la columna vertebral
CEV es probablemente el modelo más simple que produce skew. Un exponente -- β -- decide cómo el coeficiente de difusión escala con el nivel del spot. Ese es todo el truco.
En Black-Scholes, la SDE del spot es dS = σ·S·dW. El término de ruido es proporcional a S, por lo que la volatilidad porcentual es constante. CEV generaliza esto a:
β = 0: obtiene el modelo Bachelier / normal. La difusión es σ·dW -- ruido aditivo, sin ninguna dependencia del precio.
0 < β < 1: algo intermedio. La difusión crece con S, pero de forma menos que proporcional.
Piense en β como un control de una mesa de mezclas. Todo a la derecha (β = 1) obtiene el mundo lognormal -- fluctuaciones porcentuales constantes. Todo a la izquierda (β = 0) obtiene el mundo normal -- fluctuaciones en dólares constantes. Todo lo intermedio es una mezcla. Al modelo no le importan los saltos, los regímenes ni la vol estocástica. Solo se pregunta: ¿cómo depende el tamaño del shock aleatorio del nivel de precio?
La volatilidad porcentual bajo CEV es σ·Sβ−1. Cuando β < 1, el exponente es negativo, por lo que la vol porcentual sube a medida que S cae. Ese es el efecto apalancamiento, y es todo el motor detrás del skew de CEV. Sin parámetros adicionales, sin fuentes de ruido adicionales. Solo el exponente.
β < 1 significa que la vol sube cuando el spot baja
Este es el efecto apalancamiento. En los mercados de renta variable y cripto, la vol sube consistentemente cuando el spot cae. CEV con β < 1 captura esto mecánicamente, sin necesidad de un segundo factor estocástico.
Si β = 0.5, la función de vol local es σ·√S. Cuando S cae de 100 a 50, la vol local no cae proporcionalmente -- solo cae en √(50/100) ≈ 0.71. Pero el spot cayó a la mitad. La vol porcentual en realidad aumenta.
El efecto es automático y determinista. No hay parámetro de correlación que ajustar, ni un segundo movimiento browniano. La relación precio-vol está integrada en el único exponente β.
Esto crea un skew negativo en la volatilidad implícita sin ningún parámetro adicional. Cuando el mercado cae, la vol sube mecánicamente, por lo que las opciones put OTM se vuelven más valiosas. El ala put de la sonrisa se eleva.
El simulador de arriba lo muestra claramente. Panel izquierdo: trayectorias de precio CEV. Cuando β < 1, las trayectorias que caen se vuelven visiblemente más ruidosas -- oscilaciones más amplias en niveles más bajos. Panel derecho: vol realizada por ventanas graficada contra el nivel de precio. La pendiente negativa es el efecto apalancamiento.
Establezca β = 1 y el gráfico de dispersión se aplana. No hay dependencia precio-vol. Ese es el mundo de Black-Scholes.
Establezca β > 1 y la relación se invierte: la vol sube con el precio. Esto es inusual en la práctica, pero le muestra el rango completo del modelo.
El efecto apalancamiento no es solo una curiosidad del modelo. Es observable en datos realizados de renta variable, crédito y cripto. Cuando los mercados se desploman, la vol realizada se dispara. CEV dice que esto no se debe a que la vol tenga su propio proceso aleatorio, sino a que el coeficiente de difusión depende mecánicamente del nivel de precio. Es la explicación más barata posible para el skew.
La sonrisa de volatilidad implícita a partir de CEV
CEV produce una forma específica de vol implícita controlada por completo por β. La forma es una inclinación, no una U. CEV puede producir skew pero no puede producir una sonrisa simétrica.
La correspondencia es directa:
β = 1: Sonrisa plana. Sin skew, sin curvatura. Esto es Black-Scholes.
β < 1: Skew negativo. El ala put está elevada, el ala call está deprimida. Cuanto más β esté por debajo de 1, más pronunciado el skew.
β > 1: Skew positivo. El ala call sube, el ala put cae. Raro en renta variable/cripto pero posible en algunos mercados de materias primas.
De forma crítica, la sonrisa de CEV es monótona. Se inclina hacia un lado u otro, pero no tiene forma de U. No hay mecanismo para que ambas alas se eleven simultáneamente, porque no hay vol-de-vol ni varianza estocástica que genere un enriquecimiento simétrico de las alas.
El explorador de arriba muestra ambas piezas: la función de vol local σ·Sβ a la izquierda, y la sonrisa de volatilidad implícita resultante a la derecha. Arrastre β y observe cómo se mueven juntos. La pendiente de la vol local determina directamente la inclinación de la sonrisa.
En β = 1, la función de vol local es una línea recta que pasa por el origen (proporcional a S). La sonrisa es plana. A medida que β cae por debajo de 1, la función de vol local se curva hacia abajo a S altos -- lo que significa que el proceso se vuelve menos volátil a precios más altos. La sonrisa se inclina hacia la izquierda.
CEV como columna vertebral de SABR
SABR’s forward equation is dF = σ·Fβ·dW₁. Eso es literalmente el proceso CEV. SABR simplemente añade una segunda SDE para el propio parámetro de vol.
El sistema SABR completo es:
Segunda línea: σ ahora es estocástico. ν (vol-of-vol) controla cuánto σ deambula. Cuando ν = 0, σ es una constante y vuelve al CEV puro.
Tercera línea: los dos brownianos están correlacionados. ρ añade una inclinación adicional sobre lo que β ya proporciona.
Así que CEV es el fundamento determinista de SABR. El β exponente controla la forma de la columna vertebral de la sonrisa. SABR luego añade vol estocástica encima: ν genera curvatura (enriquecimiento de las alas), y ρ añade una inclinación direccional adicional.
En la práctica, las mesas de tasas suelen fijar β en un valor convencional (0.5 para tasas, a veces 0 o 1 según el régimen) y luego calibrar σ, ν, ρ a la sonrisa observada. La columna vertebral se elige una vez; la capa estocástica se ajusta diariamente.
La comparación anterior lo hace visual. La curva verde continua es CEV por sí sola -- una inclinación monótona. La curva azul discontinua es SABR con el mismo β pero con ν distinto de cero. SABR añade la curvatura que CEV no puede producir.
Ponga ν = 0 en el deslizador y observe cómo las curvas se superponen perfectamente. Eso confirma la relación: SABR con vol-of-vol cero es exactamente CEV. La columna vertebral es compartida.
Cuando calibra SABR, la elección de β no es inocente. Determina qué parte del skew observado se atribuye a la columna vertebral (vol dependiente del precio) frente a la capa estocástica (ρ inclinación). Diferentes elecciones de β conducen a diferentes ρ se ajusta, lo que afecta la dinámica del forward y, por tanto, el comportamiento de la cobertura. Entender CEV por sí solo le ayuda a comprender qué está haciendo realmente β dentro de SABR.
Límites y usos
CEV es demasiado simple para ajustar sonrisas reales. Pero es el modelo mental adecuado para entender cómo funciona la vol dependiente del precio, y aparece dentro de cada calibración SABR.
Lo que CEV no puede hacer:
Sin curvatura. Las sonrisas reales tienen tanto inclinación como curvatura: las alas de las puts son pronunciadas, las alas de las calls están elevadas. CEV produce una inclinación monótona pero ninguna forma de U. Si intenta ajustar una sonrisa cripto real solo con CEV, se perderá las alas por completo.
Sin dinámica de estructura temporal. CEV no tiene reversión a la media, ni agrupamiento de vol, ni cambios de régimen. La función de vol local es estática. Las sonrisas de vencimiento corto y largo tienen la misma forma, lo que contradice el comportamiento observado de la estructura temporal.
Absorción en cero. Para β < 1, el proceso puede alcanzar cero y quedar absorbido. Este es un dolor de cabeza técnico para la valoración y requiere condiciones de frontera especiales.
Para qué sirve CEV:
Enseñar el efecto apalancamiento. Si quiere un solo modelo para explicar por qué la vol sube cuando el spot cae, CEV es el indicado. Un parámetro, un mecanismo, intuición limpia.
Selección de la columna vertebral de SABR. Al calibrar SABR, usted elige β primero. Entender qué hace CEV por sí solo le dice qué está atribuyendo al backbone frente a la capa estocástica.
Aproximaciones rápidas del skew. La expansión de la volatilidad implícita de CEV le da una relación analítica entre β y la pendiente del skew. Si alguien le cotiza un número de skew, puede deducir mentalmente el β implícito.
Debate normal vs lognormal. En los mercados de tipos, la elección entre las convenciones de cotización normal (β = 0) y lognormal (β = 1) es un debate vigente. CEV convierte esto en un espectro continuo en lugar de una elección binaria.
CEV dice: el tamaño del shock aleatorio depende del nivel de precio, y β controla cómo. Todo lo demás —skew, efecto de apalancamiento, backbone de SABR— se deriva de esa única idea.
A dónde ir después:
Modelo SABR -- la extensión de vol estocástica que usa CEV como su columna vertebral
Parametrización SVI -- ajuste directo de la sonrisa para superficies de producción
Modelo Heston -- un enfoque distinto de vol estocástica con varianza de reversión a la media
Métodos de interpolación -- todos los métodos comparados