Black-Scholes desde cero
1/7¿Qué es una opción call?
Una opción call es una elección: puede comprar más adelante a un precio fijo K, o retirarse. Ese único detalle crea toda la forma del payoff.
Si el activo termina por debajo del strike, ignora la opción. Si termina por encima, compra al precio fijo más barato y se queda con la diferencia.
Arrastre el control deslizante. Por debajo de K el payoff es cero — nunca ejercería. Por encima de K el payoff sube dólar a dólar. Ese quiebre en K es la razón entera de que existan las opciones.
Piense en pagar una pequeña tarifa de reserva por una entrada de concierto. Si los precios de reventa se disparan, su reserva vale mucho. Si los precios se mantienen bajos, se retira. La prima de la opción es esa tarifa de reserva.
Los cinco inputs
Antes de escribir la fórmula, haga que cada símbolo le resulte aburrido. Si los símbolos siguen siendo un misterio, todo el modelo sigue siendo un misterio.
Mueva cada control deslizante de abajo y observe cómo reacciona el precio de la call. Cada input empuja en una dirección. Tome la sensación antes de nombrar la fórmula.
Resumen en una frase: Black-Scholes valora un derecho cuyo valor depende de dónde está el activo ahora (S), a qué precio puede comprar (K), cuánto tiempo tiene (T), qué tan amplio puede ser el futuro (σ) y cuánto cuesta esperar (r).
Dos grandes partes
La mayoría de la gente conoce primero la fórmula final. Eso está al revés. Primero aprenda la historia, luego coloque los símbolos encima.
Recorra las tres capas de abajo. Observe cómo el texto en inglés se convierte en matemáticas.
La primera parte es cuánto potencial alcista similar al del subyacente está obteniendo. La segunda parte es lo que debería a cambio, descontado a hoy. La diferencia es el valor de la opción.
N(d₁) y N(d₂) son pesos entre 0 y 1. Provienen de la distribución normal. Los desglosaremos a continuación.
¿Qué son d₁ y d₂?
La parte que asusta a la mayoría. No son místicos. Son marcadores — miden qué tan favorable es el planteamiento de la opción, en unidades de una vida de volatilidad.
N(d) es el área bajo la campana a la izquierda de d. Arrastre el control deslizante y observe cómo cambia el área sombreada — el peso.
Desglosando d₁:
(r + σ²/2)T — corrección de drift y volatilidad durante la vida de la opción.
Resuelva un ejemplo completo
Los números lo hacen real. Empiece con valores por defecto amigables, luego cambie los inputs y observe cómo se actualiza cada paso intermedio.
Por qué este precio y ningún otro
Black-Scholes no es una conjetura. Su columna vertebral es la replicación: si puede copiar una opción usando el subyacente y efectivo, la opción y la copia deben costar lo mismo.
Simplifique a un solo periodo. El subyacente sube a $120 o baja a $80. La call con K = 100 paga $20 o $0. ¿Podemos construir una cartera de subyacente y efectivo que iguale esos payoffs exactamente?
La copia cuesta $10. La opción también debe costar $10 — de lo contrario alguien compra la barata, vende la cara y gana un beneficio sin riesgo. Por eso el modelo está disciplinado por el arbitraje, no por sensaciones.
Black-Scholes es la versión suave, en tiempo continuo, de este argumento de copiado — aplicado infinitas veces a medida que el precio del subyacente cambia continuamente.
Escríbala de memoria
Toque cada tarjeta para autoevaluarse. Si puede completar las cuatro, tiene la fórmula dominada.
Comprobación rápida de memoria — toque para ver las respuestas:
A dónde ir después:
Volatilidad implícita — usando el modelo al revés a partir del precio
Referencia de griegas — conectando el precio con las sensibilidades de cobertura
Paridad put-call — la siguiente identidad de valoración a dominar