Replicación estática desde cero
1/5Cualquier payoff es una suma de payoffs más simples
Todo diagrama de payoff complejo que haya visto es solo un portafolio de piezas más simples. Calls, puts, forwards. La forma que ve es la suma de sus líneas de payoff individuales.
Un butterfly son tres calls. Un straddle es una call más una put. Un collar es el activo subyacente más una put menos una call. Ninguno de estos es exótico. Son solo combinaciones lineales de opciones vanilla.
Seleccione una forma de payoff abajo y luego pulse Descomponer para ver las piezas que suman la curva verde. Las líneas punteadas son las patas individuales. Su suma es la línea verde sólida.
Si cualquier payoff es una suma de payoffs más simples, entonces valorar cualquier payoff se reduce a valorar las piezas. Y si puede operar las piezas, puede replicar cualquier forma que desee sin necesitar un instrumento a medida. Esa es la promesa central de la replicación estática.
Las vanillas como bloques de construcción
Un call spread son dos calls. Un butterfly son tres. Un iron condor son cuatro. Con suficientes calls y puts en los strikes adecuados, puede aproximar cualquier payoff lineal a trozos.
Cada opción vanilla aporta un “quiebre” al payoff combinado. Una call en el strike K dobla el payoff hacia arriba en K. Una put en el strike K lo dobla hacia arriba por debajo de K. Cada quiebre cambia la pendiente según la cantidad de la opción.
Construya su propio portafolio abajo. Agregue calls y puts en distintos strikes. Vea cómo el payoff combinado se actualiza en vivo. Intente construir un payoff plano entre 90 y 120 sin nada por encima ni por debajo.
El resultado de Breeden-Litzenberger
La segunda derivada de los precios de las calls con respecto al strike da la densidad de probabilidad riesgo-neutral. El mercado le está diciendo implícitamente la probabilidad de cada resultado posible.
Breeden y Litzenberger (1978) demostraron que si toma la grilla de precios de calls a lo largo de los strikes y calcula la curvatura en cada punto, recupera la función de densidad de la distribución riesgo-neutral. Sin necesidad de modelo. Solo precios y aritmética.
La curva verde es la densidad extraída. Su pico le indica dónde cree el mercado que es más probable que se liquide el activo subyacente. Su anchura le indica cuán incierto está el mercado. Aumente la volatilidad y observe cómo la densidad se aplana y se extiende.
Esto no es una estimación ni la salida de un modelo. Es una extracción directa y libre de modelo a partir de precios de mercado. El único supuesto es que los precios de las calls son dos veces diferenciables en el strike, lo cual se cumple en cualquier mercado libre de arbitraje.
Replicar una binaria
Una call binaria paga $1 por encima del strike y $0 por debajo. Puede aproximarla con un call spread estrecho: compre la call en K, venda la call en K+ε, y escale por 1/ε. A medida que el ancho del spread tiende a cero, la rampa se convierte en un escalón.
Este es el vínculo fundamental entre las vanillas y las binarias. Una binaria es el límite de un call spread cuando la anchura del spread se reduce a cero. De forma equivalente, la binaria es la derivada negativa del precio de la call con respecto al strike: D(K) = −∂C/∂K.
Arrastre el control deslizante para estrechar el spread. Observe cómo la rampa azul converge a la función escalón verde.
Replicar payoffs arbitrarios
Carr y Madan (1998) demostraron que cualquier payoff europeo dos veces diferenciable puede descomponerse en tres piezas: una posición forward, una franja de puts OTM por debajo del forward y una franja de calls OTM por encima del forward.
Esta es la fórmula de Carr-Madan. Dice que la curvatura de su payoff objetivo — la segunda derivada f″(K) — determina cuánto necesita de cada opción OTM. La parte lineal del payoff la captura el forward. La curvatura la capturan las franjas de opciones.
Seleccione un payoff abajo y luego pulse Mostrar descomposición de Carr-Madan para ver las tres piezas. La línea amarilla es el componente forward. La región roja es la franja de puts OTM. La región azul es la franja de calls OTM. Juntas suman el objetivo verde.
Observe la línea divisoria en F (el precio forward). Por debajo de F, solo aportan las puts. Por encima de F, solo aportan las calls. Esto no es arbitrario — usar opciones OTM minimiza el costo de la replicación porque las opciones OTM son más baratas que las ITM con el mismo contenido de información.
La descomposición de Carr-Madan es la base teórica de los swaps de varianza, el cálculo del VIX y las estrategias de replicación de portafolios. La fórmula del VIX es literalmente una aproximación discreta de esta integral. Cada vez que vea una “franja de opciones”, esta es la matemática detrás.
A dónde ir después:
Opciones binarias — el bloque de construcción de las escaleras de replicación
Cobertura delta — la alternativa dinámica a la replicación estática
Volatilidad implícita — extraer las expectativas del mercado a partir de los precios