Bates desde cero
1/5Heston + saltos = Bates
Heston explica el smile de vencimientos largos: la varianza estocástica genera un skew suave y estructura temporal. Merton explica el smile de vencimientos cortos: los saltos en el proceso de precio generan alas empinadas en vencimientos cortos. Bates combina ambos en un solo modelo.
El problema central es simple. Heston se mueve de forma continua: el precio spot nunca se teletransporta. Eso significa que Heston por sí solo no puede explicar por qué una opción put de 25-delta a 1 semana puede cotizar a 80% de vol mientras la versión a 1 año cotiza a 55%. La pendiente de las alas en vencimientos cortos requiere algo que la difusión continua no puede ofrecer: gaps instantáneos.
Merton (1976) resolvió el problema de los gaps añadiendo un proceso de saltos de Poisson al movimiento browniano geométrico. Pero Merton no tiene varianza estocástica, así que no puede reproducir la dinámica de la estructura temporal. Valora bien un vencimiento y luego falla a lo largo de la curva.
Bates (1996) unió ambos. El resultado es el modelo de referencia para las mesas de exóticos que necesitan tanto dinámicas realistas como una valoración tratable.
Segunda línea: la varianza sigue el mismo proceso CIR que Heston. Aquí no cambia nada.
Tercera línea: la misma estructura de correlación. ρsigue impulsando el skew suave.
Piense en un auto sobre una carretera irregular (Heston: la calidad de la superficie cambia de forma estocástica). Ahora añada baches que aparecen al azar (saltos de Merton: el auto cae de repente). Necesita suspensión para las irregularidades y airbags para los baches. Bates le da ambos.
La clave matemática: como el componente de saltos es independiente del proceso de varianza, la función característica de Bates es simplemente la función característica de Heston multiplicada por el factor de saltos de Merton. Eso significa que la valoración sigue siendo semianalítica: la inversión de Fourier sigue funcionando. No se necesita Monte Carlo para las vanilla.
Qué hacen los parámetros adicionales
Bates hereda los cinco parámetros de Heston (κ, θ,σ, ρ, v₀) y añade tres parámetros de salto:λ (frecuencia de salto), μⱼ (tamaño medio del salto), y σⱼ (volatilidad del salto). Ocho perillas en total.
λ (lambda) -- intensidad de salto. Número esperado de saltos por año. λ = 0 recupera el Heston puro. λ = 2 significa aproximadamente dos saltos por año en promedio. Un λ más alto eleva más las alas porque el mercado incorpora más eventos de gap en el precio de las opciones.
μⱼ (mu-J) -- tamaño medio del salto. El log-retorno promedio de un salto. Un μⱼ negativo significa que los saltos tienen sesgo a la baja (saltos de caída). Esto crea asimetría: el ala put se empina más que el ala call. En cripto,μⱼ está típicamente entre −0.05 and−0.15, reflejando cascadas de liquidación y flash crashes.
σⱼ (sigma-J) -- volatilidad del salto. La desviación estándar de los tamaños de salto. Incluso si el salto medio es cero, un valor distinto de cero de σⱼ crea un levantamiento simétrico de las alas. Esto es pura curtosis en exceso proveniente de saltos de tamaño aleatorio. Un mayorσⱼ implica colas más gruesas.
Active y desactive los saltos arriba. Cuando los saltos están desactivados, ve el Heston puro (azul punteado). Actívelos y las alas se levantan -- especialmente el ala izquierda, porque μⱼ < 0 sesga los saltos hacia abajo. Suba λ a 3 o 4 y el efecto es dramático. Establezca μⱼ = 0 y note que el levantamiento se vuelve simétrico.
La idea crucial: ρ (Heston) y μⱼ(saltos) crean skew, pero mediante mecanismos completamente diferentes.ρ crea skew a través de la correlación spot-vol, que se acumula gradualmente con el tiempo. μⱼ crea skew a través de saltos direccionales, que aparecen instantáneamente. Por eso Bates puede ajustar simultáneamente tanto el tramo corto como el tramo largo.
Descomposición de la estructura temporal
El smile de vencimientos cortos es principalmente saltos. El smile de vencimientos largos es principalmente vol estocástica. Esta separación es la razón de ser de Bates: ningún componente por sí solo ajusta toda la estructura temporal.
El mecanismo es el escalamiento de la varianza. La varianza difusiva se acumula proporcionalmente a T: a lo largo de un año, el componente difusivo tiene tiempo de acumularse. La varianza de salto también escala con T (λ · T saltos esperados), pero cada salto individual tiene el mismo tamaño sin importar el horizonte.
En T = 7 días, apenas ha tenido tiempo para que la varianza difusiva se acumule, pero un solo salto todavía puede golpearlo con todo su tamaño. Una −caída del 10% en una semana tiene el mismo impacto en el payoff que una−caída del 10% en un año -- pero la caída representa una fracción mucho mayor del movimiento total esperado en 7 días que en 365 días.
En T = 1 año, la vol estocástica ha tenido tiempo de explorar toda la distribución de trayectorias de varianza. La reversión a la media, el clustering de vol y la correlación spot-vol se manifiestan por completo. El componente de saltos sigue presente, pero es una fracción menor de la varianza total.
Observe los cuatro gráficos de arriba. En T = 7d, la región roja (contribución de los saltos) domina las alas. En T = 1a, es una franja delgada. Aumente λ y observe cómo se desplaza el punto de cruce -- saltos más frecuentes empujan la contribución de los saltos más lejos a lo largo de la curva.
Esta descomposición tiene implicaciones directas para el trading. Si cree que el riesgo de saltos está mal valorado, opere el tramo corto. Si cree que la dinámica de la varianza está mal valorada, opere el tramo largo. Bates le da un marco para separar estas apuestas.
Calibrar Bates
Ocho parámetros son muchos. Distintas combinaciones pueden producir smiles similares, y el optimizador puede desviarse hacia territorio inestable. La calibración práctica requiere disciplina.
El enfoque estándar es una estrategia en dos etapas:
Etapa 1: fije lo que puede observar. v₀ se fija a partir de la varianza implícita ATM actual. La tasa de deriva r es conocida. Eso deja siete parámetros libres.
Etapa 2: calibre por grupos. Primero ajuste κ, θ, σ, ρ a la sonrisa de largo plazo (donde los saltos contribuyen poco). Luego ajusteλ, μⱼ, σⱼ a los residuos de corto plazo. Itere unas cuantas veces para refinar.
Este enfoque funciona porque los dos grupos de parámetros controlan partes distintas de la superficie. Los parámetros de Heston moldean el tramo largo; los parámetros de saltos moldean el tramo corto. Ajustarlos secuencialmente reduce la dimensionalidad de cada paso de optimización.
La trampa del sobreajuste. Más parámetros siempre mejoran el ajuste dentro de la muestra. Pero si deja que los ocho floten libremente, corre el riesgo de ajustar el ruido. La señal reveladora: parámetros que cambian drásticamente de un día a otro mientras producen sonrisas similares. Si λ oscila entre 0.5 y 3.0 en calibraciones consecutivas, su ajuste es inestable.
El gráfico de arriba muestra una comparación realista. Heston (naranja, 5 parámetros) ajusta bien la región ATM pero falla sistemáticamente en las opciones put deep OTM. Bates (verde, 8 parámetros) clava las alas porque el componente de saltos captura el skew empinado de vencimientos cortos que Heston no puede alcanzar.
Observe el gráfico de residuos debajo del gráfico principal. Los residuos de Heston son grandes y sistemáticos en las alas: el modelo está sesgado, no solo tiene ruido. Los residuos de Bates son más pequeños y más aleatorios. Esa es la firma de una mejora genuina, no de un simple sobreajuste.
Regla práctica: si añadir 3 parámetros reduce el SSE en más de 50%, la complejidad extra se justifica. Si la reducción es de solo 10-20%, quizá le convenga quedarse con Heston y aceptar el error en las alas.
El caballo de batalla en cripto
Bates es el modelo estándar de las mesas de exóticos en cripto porque los mercados cripto exhiben tanto volatilidad estocástica como saltos frecuentes. Las cascadas de liquidación, los depegs y las caídas de exchanges crean un riesgo real de gaps que Heston por sí solo no puede valorar.
Las superficies de volatilidad cripto tienen rasgos distintivos que Bates maneja bien:
Regímenes de vol persistentes. BTC puede permanecer en un IV del 30% durante semanas y luego saltar al 80% con una sola cascada de liquidaciones. Un bajoκ (reversión a la media lenta) combinado con un alto v₀captura el entorno posterior al shock. Este es el componente de Heston haciendo su trabajo.
Movimientos de gap frecuentes. Una caída intradía del 10% es poco común en acciones, pero ocurre varias veces al año en cripto. Estos son saltos genuinos, no solo grandes movimientos difusivos. Se manifiestan como alas de put de corto plazo extremadamente empinadas que ninguna cantidad deσ (vol-of-vol) puede igualar. El componente de salto se encarga de esto.
En ambas direcciones. A diferencia de los mercados de acciones donde los saltos casi siempre son a la baja, cripto también tiene un riesgo significativo de gap al alza (short squeezes, aprobaciones sorpresa de ETF, listados en exchanges). Establecerμⱼ más cerca de cero (o incluso ligeramente positivo para algunas monedas) permite que el modelo capture el riesgo de gap simétrico.
La descomposición de varianza de arriba muestra cómo la varianza ATM total se reparte entre el componente difusivo y el de saltos. Para parámetros cripto típicos, los saltos pueden representar 20-40% de la varianza total. Eso no es un término de corrección: es un efecto de primer orden.
Más allá de Bates: SLV. Bates ajusta la superficie observada mejor que Heston, pero aún no puede ajustar exactamente cada strike y vencimiento. Para la valoración de exóticos en producción, la mayoría de las mesas superponen una capa de volatilidad local encima, creando un modelo de volatilidad estocástica-local (SLV). Bates proporciona el motor de dinámicas; la volatilidad local proporciona la calibración exacta. Consulte la referencia de SLV para más detalles.
Cuándo Bates es excesivo: si solo necesita interpolar una sola sonrisa para un solo vencimiento, use SVI. Si necesita una superficie completa sin dinámicas, SSVI es más rápido y más estable. Bates justifica su complejidad cuando necesita las dinámicas del subyacente -- para la valoración de exóticos, la cobertura de productos dependientes de la trayectoria, o la descomposición de la sonrisa en componentes económicos.
Black-Scholes: sin smile. Una sola vol no ajusta nada.
Heston: dinámica de smile suave. Maneja el tramo largo.
Bates: suave + con saltos. Maneja ambos tramos.
SLV: calibración exacta + dinámica. El estándar en producción.
Cada paso añade complejidad y costo de calibración. El arte está en saber cuándo la maquinaria extra justifica el costo para su caso de uso específico.
Adónde ir después:
Heston desde cero -- inmersión profunda en los cinco parámetros de Heston
Parametrización SVI -- el estándar de ajuste de smiles para superficies de volatilidad cripto
SSVI -- parametrización de superficie completa libre de arbitraje
Métodos de interpolación -- comparación de todos los métodos