Bachelier desde cero
1/5Dólares, no porcentajes
Black-Scholes dice "un movimiento del 10%". Bachelier dice "un movimiento de $10". Esa es toda la diferencia filosófica entre los dos modelos de valoración de opciones más antiguos.
Louis Bachelier publicó su modelo en 1900 -- 73 años antes que Black y Scholes. Su idea era muy simple: los cambios de precio son aditivos y siguen una distribución normal. El modelo es una sola ecuación:
Si la vol normal es $20, el modelo predice que el precio puede moverse alrededor de $20 en un año. Ya sea que el precio parta de $40 o de $400, la oscilación tiene el mismo tamaño en dólares. Eso es lo que significa "aditivo" -- el ruido no escala con el nivel del precio.
Compárelo con Black-Scholes, donde el ruido es multiplicativo: dS = S·σ·dW. La misma vol del 30% produce un movimiento de $30 en un activo de $100 pero un movimiento de $150 en uno de $500. La regla se estira.
Arrastre el control deslizante de precio. La regla de Bachelier mantiene sus marcas en intervalos fijos en dólares. La regla de BS se estira o se encoge porque cada marca es un porcentaje fijo del precio actual.
El modelo aditivo puede producir precios negativos. Eso es un defecto si está valorando opciones sobre acciones. Pero es una virtud para las tasas de interés (que fueron negativas en EUR, JPY, CHF) y para los spreads (que tienen signo por naturaleza). Bachelier se adelantó 73 años a su tiempo -- su "defecto" se convirtió en el estándar de la industria para opciones sobre tasas.
La fórmula es más simple de lo que cree
El precio de una call de Bachelier tiene menos piezas móviles que Black-Scholes. Sin logaritmos. Sin dramas de factor de descuento. Solo una resta, una razón y dos consultas a la distribución normal.
Divida la fórmula en dos partes y es fácil de recordar:
Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- el payoff intrínseco, ponderado por probabilidad. Si la call termina in the money, usted recibe S − K. Φ(d) es la probabilidad de que eso ocurra.
Piece 2: σn√T·φ(d) -- el colchón de valor temporal. Incluso si el spot está cerca del strike, la incertidumbre da a la opción una posibilidad. Más vol o más tiempo aumenta este término.
Compare con Black-Scholes: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS usa ln(S/K) donde Bachelier usa S−K. Ese logaritmo es toda la diferencia. Cerca del ATM, coinciden.
Aleje el strike del precio spot y observe cómo los dos precios divergen. Cerca de ATM son casi idénticos porque las aproximaciones lineal y logarítmica coinciden localmente. Muy OTM, los modelos discrepan porque Bachelier permite precios negativos y BS no.
Vol normal vs vol BS
La conversión entre los dos es simple cerca de ATM: σn ≈ S · σBS. Una sonrisa normal plana se traduce en una sonrisa BS con skew porque el mismo movimiento en dólares es un porcentaje distinto en cada strike.
Si el spot es $100 y la vol BS es 30%, la vol normal es aproximadamente $30. Si el spot cae a $50, los mismos $30 de vol normal se convierten en 60% en términos BS. Nada cambió en el mundo de Bachelier -- pero la vol BS se duplicó.
Por eso una sonrisa de Bachelier perfectamente plana (una sola vol normal para todos los strikes) produce una sonrisa BS con skew. Para strikes bajos, el mismo movimiento en dólares representa un porcentaje mayor. Para strikes altos, representa un porcentaje menor. La curva de volatilidad implícita BS se inclina hacia abajo de izquierda a derecha.
El interactivo de abajo muestra ambas vistas del mismo mercado. Bachelier dice una sola vol. BS dice una curva. Ninguna está mal -- son sistemas de coordenadas distintos para el mismo conjunto de precios de opciones.
Cuándo Bachelier es el modelo correcto
Bachelier es el estándar de la industria para opciones sobre tasas, opciones sobre spreads y cualquier producto cuyo activo subyacente pueda ser negativo. No es el modelo por defecto adecuado para el spot de cripto -- pero es perfecto para productos de basis y de tasa de financiamiento.
Tasas de interés: Cuando el BCE llevó las tasas a terreno negativo en 2014, Black-Scholes se rompió. No se puede tomar el logaritmo de un número negativo. Las mesas de tasas de todo el mundo pasaron de cotizar en lognormal a normal de la noche a la mañana. La vol de swaptions ahora se cotiza en puntos básicos de vol normal, no en porcentaje de vol lognormal.
Spreads: La diferencia entre dos precios es aditiva por naturaleza. Un calendar spread, una operación de basis o un spread entre divisas puede ser positivo o negativo. Bachelier maneja eso sin trucos.
Productos de financiamiento: Las tasas de financiamiento en cripto fluctúan alrededor de cero y pueden ser negativas. Si está valorando opciones sobre tasas de financiamiento, Bachelier es el lenguaje natural.
Spot de cripto: Los precios son positivos y exhiben efectos de apalancamiento (la vol sube cuando el precio cae). El marco lognormal es más natural aquí. Use BS para spot, Bachelier para tasas y spreads.
El panel izquierdo muestra trayectorias de Bachelier: ruido aditivo, simétricas, y algunas cruzan el cero. El panel derecho muestra trayectorias BS: ruido multiplicativo, siempre positivas, y la distribución tiene una cola derecha larga. Agregue trayectorias y observe cuántas trayectorias de Bachelier se vuelven negativas -- ese es el "defecto" que en realidad es una virtud para tasas.
El problema del skew falso
Si cotiza un mercado de Bachelier en términos de Black-Scholes, verá un skew que no existe. El "skew" es solo una transformación de coordenadas. Esta es la lección más importante de esta página.
Imagine un market maker que valora opciones con una vol normal plana. Cada strike recibe $20 de vol normal. Sin skew. Sin sonrisa. Un solo número.
Ahora un trader convierte esos precios a volatilidad implícita BS usando un solver de IV estándar. Las opciones de strike bajo muestran una vol BS más alta. Las de strike alto muestran una vol BS más baja. El trader ve skew de puts y piensa que el mercado está descontando riesgo de crash.
Pero no hay riesgo de crash en este mercado. El skew es un artefacto de forzar un mundo normal a través de una lente lognormal. Un movimiento de $20 sobre un activo subyacente de $80 es 25% en términos BS. El mismo movimiento de $20 sobre un activo subyacente de $120 es solo 16.7%. Porcentajes distintos, mismo movimiento en dólares.
Esto importa en la práctica porque:
Puede diagnosticar mal el skew. Si una mesa de tasas cotiza en vol normal y usted convierte a BS, verá un skew que es 100% un artefacto. No lo opere.
La conexión con SABR. El parámetro beta de SABR controla dónde se sitúa en el espectro de Bachelier a BS. Beta = 0 es Bachelier puro (normal). Beta = 1 es BS puro (lognormal). La mayor parte del "skew" que ve con beta = 0 en términos BS es el mismo artefacto de coordenadas.
La regla de oro: Antes de operar un skew, pregúntese si es una característica del mercado o del modelo. Lo que es plano en un sistema de coordenadas puede parecer skew en otro.
A dónde ir después:
Black-Scholes -- la contraparte lognormal
Modelo SABR -- usa beta para elegir en el espectro normal-lognormal
Modelo CEV -- conecta lo normal y lo lognormal mediante el parámetro beta
Skew -- separar los artefactos del modelo de las características del mercado